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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Fr 15.03.2013 | | Autor: | derluxe |
| Aufgabe | | Auf der Parabel mit der Funktionsgleichung y = 4x² sind die Koordinaten des Punktes P(x;y) so zu bestimmen, dass sein Abstand zum Punkt Q(10;0) minimal wird. |
Hallo,
Ich habe zu dieser Aufgabe keinen Lösungsansatz.
Habt ihr eine Idee?
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo derluxe,
> Auf der Parabel mit der Funktionsgleichung y = 4x² sind
> die Koordinaten des Punktes P(x;y) so zu bestimmen, dass
> sein Abstand zum Punkt Q(10;0) minimal wird.
> Hallo,
> Ich habe zu dieser Aufgabe keinen Lösungsansatz.
> Habt ihr eine Idee?
Bilde die Differenz der Punkte.
Berechne den Abstand und minimiere diesen.
> Grüße
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Mi 20.03.2013 | | Autor: | derluxe |
Guten Tag,
du meinst, dass diese Aufgabe nur mit Ausprobieren (Einsetzen) von Punkten lösbar ist?
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Hallo,
> Guten Tag,
> du meinst, dass diese Aufgabe nur mit Ausprobieren
> (Einsetzen) von Punkten lösbar ist?
nein, da müsstest du unendlich oft Probieren (viel Spaß  ).
Man kann die Aufgabe entweder ganz gewöhnlich per Zielfunktion lösen. Die Zielfunktion beschreibt dabei den Abstand eines beliebigen Parabelpunktes zum Punkt Q in Abhängigkeit von x.
Oder man geht es etwas 'geometrischer' an: die Strecke [mm] \overline{PQ} [/mm] muss für die gesuchten Punkte Kurvennormale sein.
Es wäre für eine zielführende Hilfestellung sinnvoll, wenn du irgendwie etwas über deinen Kenntnisstand bzw. deine Klassenstufe aussagen könntest, entweder hier im Thread, oder (noch besser) in deinem Profil.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Mi 27.03.2013 | | Autor: | derluxe |
Guten Tag,
ich erlangte mit Abschluss der 12. Klasse die Fachhochschulreife.
Nun sind schon mehrere Jahre vergangen.
Wie könnte die Zielfunktion aussehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Mi 27.03.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Guten Tag,
> ich erlangte mit Abschluss der 12. Klasse die
> Fachhochschulreife.
> Nun sind schon mehrere Jahre vergangen.
> Wie könnte die Zielfunktion aussehen?
den entscheidenden Hinweis hat MathePower schon gegeben. Der Punkt Q ist gegeben, ich schreibe ihn mal als Vektor:
[mm] $\vec{Q}=\left(\begin{array}{c}10\\0\end{array}\right)$
[/mm]
Jetzt brauchst Du erstmal den Abstand dieses Punktes von einem beliebigen Punkt auf der Parabel. Für jeden Punkt auf der Parabel gilt:
[mm] $\vec{P}(x)=\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)$
[/mm]
Wie y aussieht weißt Du ja, Du musst also nun den Abstand dieser beiden Punkte P und Q berechnen.
Dieser Abstand wird von x abhängen und den kannst Du dann mit Hilfe der Differentialrechnung minimieren (Extremwert berechnen).
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:14 Do 28.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> > Guten Tag,
> > ich erlangte mit Abschluss der 12. Klasse die
> > Fachhochschulreife.
> > Nun sind schon mehrere Jahre vergangen.
> > Wie könnte die Zielfunktion aussehen?
>
> den entscheidenden Hinweis hat MathePower schon gegeben.
> Der Punkt Q ist gegeben, ich schreibe ihn mal als Vektor:
> [mm]\vec{Q}=\left(\begin{array}{c}10\\0\end{array}\right)[/mm]
> Jetzt brauchst Du erstmal den Abstand dieses Punktes von
> einem beliebigen Punkt auf der Parabel. Für jeden Punkt
> auf der Parabel gilt:
> [mm]\vec{P}(x)=\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)[/mm]
> Wie y aussieht weißt Du ja, Du musst also nun den Abstand
> dieser beiden Punkte P und Q berechnen.
> Dieser Abstand wird von x abhängen und den kannst Du dann
> mit Hilfe der Differentialrechnung minimieren (Extremwert
> berechnen).
weiterer Hinweis: Nennen wir mal die Abstandsfunktion [mm] $d=d(x)\,,$ [/mm] deren
Aufgabe es ist, den Abstand von [mm] $\vektor{x\\x^2}$ [/mm] zu [mm] $\vektor{10\\0}$ [/mm] zu beschreiben.
Man kann sich (hier) überlegen, dass gelten wird:
Die Funktion [mm] $d(x)\,$ [/mm] nimmt ihre Minimum an [mm] $x_0$ [/mm] genau dann an, wenn die
Funktion [mm] $d^2(x)\,,$ [/mm] definiert durch [mm] $d^2(x):={(d(x))}^2\,,$ [/mm] ihr Minimum an [mm] $x_0$ [/mm] annimmt.
Und es ist (etwas) 'einfacher', [mm] "$d^2\,$ [/mm] zu minimieren"!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Mi 27.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Auf der Parabel mit der Funktionsgleichung y = 4x² sind
> die Koordinaten des Punktes P(x;y) so zu bestimmen, dass
schreiben wir besser $P_0(x_0,y_0)$ - denn das ist ein fester Punkt.
> sein Abstand zum Punkt Q(10;0) minimal wird.
> Hallo,
> Ich habe zu dieser Aufgabe keinen Lösungsansatz.
> Habt ihr eine Idee?
Diophant hatte ja eine alternative Vorgehensweise angegeben. Ich gebe Dir mal
den Tipp dazu, wie Du damit weiterkämst:
Für JEDEN Punkt $P(x,y)$ (beachte, dass ich den Punkt aus der Aufgabenstellung
umbenannte!!!) auf der Parabel gilt ja $y=x^2\,.$ Betrachtest Du nun an einem Punkt $P_1(x_1,y_1)$
die Tangente durch diesen Punkt, so hat diese die Steigung
$$\left.(x^2)\,'\right|_{x=x_1}=2x_1\,.$$
Da wir die Normale auf solch' eine Tangente brauchen, sagen wir, dass
$$N(x)=m*x+n$$
die Geradengleichung für die Normale auf obige Tangente sei, soll das Produkt
der Steigungen der Normalen und der obigen Tangente $-1\,$ ergeben:
Aus
$$m*(2x_1)=-1$$
folgt dann
$$m=\;-\;\frac{1}{2x_1}\,.$$
Wenn $(x_1,y_1)$ zur Parabel gehört, dann muss $y_1={(x_1)}^2$ gelten. Weil $(x_1,y_1)=(x_1,{(x_1)}^2)$ auch zum Graphen von $N\,$
gehören soll, muss gelten
$$y_1=N(x_1)$$
bzw.
$${(x_1)}^2=\;-\;\frac{1}{2x_1}*x_1+n\,.$$
Dies liefert
$$n={(x_1)}^2+\frac{1}{2}\,.$$
Also ist durch
$$N(x)=\;-\;\frac{1}{2x_1}*x+{(x_1)}^2+\frac{1}{2}$$
die Geradengleichung für die Normale durch einen Punkt $P_1(x_1,y_1)=P_1(x_1,{(x_1)}^2)$
der Parabel mit der Gleichung $y=x^2$ gegeben. Bei Dir nimmt nun $P_0(x_0,y_0)=P_0(x_0,{(x_0)}^2)$
die Rolle von $P_1(x_1,y_1)=P_1(x_1,{(x_1)}^2)$ ein. Nennen wir die gesuchte
Normale durch $P_0$ also $N_0\,,$ so muss gelten
$$N_0(x)=\;-\;\frac{1}{2x_0}*x+{(x_0)}^2+\frac{1}{2}\,.$$
Weil aber $Q(10,0)\,$ auch zur Normalen durch $P_0$ gehören soll, folgt
$$N_0(10)=0\,,$$
also:
$$\;-\;\frac{5}{x_0}+{(x_0)}^2+\frac{1}{2}=0$$
$$\iff {(x_0)}^3+\frac{1}{2}*x_0\;-\;5=0\,.$$
Das liefert ein eindeutiges $x_0$ (was aber nicht ganz trivial zu berechnen ist
- such' mal etwa nach der "Cardanischen Formel")!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 Mi 27.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Okay, ich hab's korrigiert. Allerdings kann ich das erst nochmal vernünftig
Gegenlesen, wenn der MR mal wieder in einer vernünftigen Zeit erreichbar
ist bzw. funktioniert!
Gruß,
Marcel
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