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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:49 Do 30.06.2011 | | Autor: | Dust |
| Aufgabe | Diskutieren Sie die gebrochen rationale Funktion g(x) mit der Gleichung
g(x) = [mm] \bruch{2x}{x^2 + a} [/mm] |
Guten Morgen,
Ich bearbeite gerade eine Einsendeaufgabe, aber Ich hoffe Ihr könnt mir trotzdem helfen.
Die erste Ableitung lautet :
[mm] \bruch{2a - 2x^2}{(x^2 + a)^2 [/mm]
Ich bin mir sicher, dass die richtig ist.
Ich setze die erste Ableitung = 0 und bekomme als Extremwerte
[mm] x_e = \wurzel{a} [/mm] und [mm] x_e = - \wurzel {a} [/mm]
Die zweite Ableitung sieht so aus:
Ich wende die Quotientenregel an .
[mm] y' = \bruch{ v' * u'' - u' * v''}{v^2}[/mm]
[mm] u' = 2a - 2x^2 [/mm] ; [mm] u'' = 4x [/mm]
[mm] v ' = (x^2 +a)^2 [/mm] ; [mm] v '' = 4x^3 + 4xa [/mm]
[mm] v '' [/mm] begründe Ich so.
Ich wende die Produktregel an:
[mm] v^2 = (x^2 + a)^2 = ( x^2 + a) * (x^2 + a ) [/mm]
nach der Produktregel ist [mm] u_1 * s_1 ={ u_1^'} * s_1 + u_1 * {s_1^'} [/mm]
da : [mm] u_1 = s_1 = (x^2 + a) [/mm] ist [mm] {u_1^'} = {s_1^'} = 2x [/mm]
so ergibt sich:
[mm] 2 x * (x^2 + a) + (x^2 + a) * 2x = (2x^3 + 2xa + 2x^3 + 2xa) = 4x^3 + 4xa[/mm]
Quotientenregel:
g''(x) = [mm] \bruch{(x^2 + a )^2 * 4x - (2a-2x^2) * (4x^3 + 4xa) }{((x+a)^2)^2^[/mm]
g''(x) = [mm] \bruch{4x^5 + 8x^2 + 4ax - 8x^5 - 8xa^2}{ ((x^2 + a )^2)^2 } [/mm]
g''(x) = [mm] \bruch{12x^5 + 8x^3 - 4xa^2}{((x^2 + a)^2)^2}[/mm]
Ich setze jetzt die vorher erhaltenen Werte in die zweite Ableitung ein.
[mm] g''(\wurzel{a}) = 12 *( \wurzel{a})^5 + 8 * (\wurzel{a})^3 - 4 * \wurzel{a} * a^2 > 0 [/mm]
Das bedeutet: [mm] \wurzel{a}[/mm] ist Stelle einen Minimums
[mm] g''(-\wurzel{a}) = 12 * (-\wurzel{a})^5 + 8 * (-\wurzel{a})^3 - 4 * (-\wurzel{a}) * a^2 < 0 [/mm]
Das bedeutet: [mm] - \wurzel{a} [/mm] ist Stelle eines Maximums.
Und meine Frage ist folgende.
Beim ansehen der Grafik sehe ich das [mm] x_e = 1 [/mm] und somit ist [mm] \wurzel{a} [/mm] ein Maximum.
Und [mm] x_e = -1 [/mm] was meiner Meinung nach bedeutet, das [mm] -\wurzel{a} [/mm] ein Minumum ist.
Kann es sein, dass Ich bei der zweiten Ableitung einen Vorzeichenfehler machte? Oder habe Ich hier einfach nur einen Denkfehler?
Ich habe die Frage in keinen anderen Forum gestellt
Vielen Dank für euere Hilfe im Vorraus.
Gruß Dust.
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> Diskutieren Sie die gebrochen rationale Funktion g(x) mit
> der Gleichung
> g(x) = [mm]\bruch{2x}{x^2 + a}[/mm]
> Die erste Ableitung lautet :
>
> g'(x)=[mm]\bruch{2a - 2x^2}{(x^2 + a)^2[/mm]
>
> Ich bin mir sicher, dass die richtig ist.
>
> Ich setze die erste Ableitung = 0 und bekomme als
> Extremwerte
>
> [mm]x_e = \wurzel{a}[/mm] und [mm]x_e = - \wurzel {a}[/mm]
Hallo,
ja.
>
> Die zweite Ableitung sieht so aus:
>
> Ich wende die Quotientenregel an .
>
> [mm]y' = \bruch{ v' * u'' - u' * v''}{v^2}[/mm]
Wenn Du Zähler und Nenner unbedingt u' und v' nennen willst, muß im Nenner aber v'^2 stehen.
Du brauchst da aber keine Striche.
Mit [mm] u:=2a-2x^2 [/mm] und [mm] v:=(x^2+a)^2 [/mm] ist g''= [mm] \bruch{ v * u' - u * v'}{v^2}
[/mm]
>
> [mm]u' = 2a - 2x^2[/mm] ; [mm]u'' = \red{-}4x[/mm]
>
> [mm]v ' = (x^2 +a)^2[/mm] ; [mm]v '' = 4x^3 + 4xa[/mm][mm] =\green{4x(x^2+a)}
[/mm]
Das Minuszeichen dürfte ein bißchen etwas verändern,
und warum ich das Grüne geschrieben habe, siehst Du später.
>
> [mm]v ''[/mm] begründe Ich so.
>
> Ich wende die Produktregel an:
>
> [mm]v^2 = (x^2 + a)^2 = ( x^2 + a) * (x^2 + a )[/mm]
Das ist umständlich, finde ich.
Du kannst [mm] h(x)=(x^2+a)^2 [/mm] entweder mit der Kettenregel ableiten, das ergibt [mm] h'(x)=2(x^2+a)*2x, [/mm] oder Du bekommst mit der binomischen Formel [mm] h(x)=x^4+2ax^2+a^2 [/mm] und brauchst zum Ableiten wirklich nur das Ableiten von Potenzen.
>
> nach der Produktregel ist [mm]u_1 * s_1 ={ u_1^'} * s_1 + u_1 * {s_1^'}[/mm]
>
> da : [mm]u_1 = s_1 = (x^2 + a)[/mm] ist [mm]{u_1^'} = {s_1^'} = 2x[/mm]
>
> so ergibt sich:
>
> [mm]2 x * (x^2 + a) + (x^2 + a) * 2x = (2x^3 + 2xa + 2x^3 + 2xa) = 4x^3 + 4xa[/mm]
Das Ergebnis dieser Ableitung jedenfalls ist richtig.
Durch das Minuszeichen gibt es nun natürlich Veränderungen, so daß Du nochmal rechnen solltest.
>
> Quotientenregel:
>
> [mm]g''(x) = \bruch{(x^2 + a )^2 * (\red{-4x}) - (2a-2x^2) * \green{4x(x^2+a)}{((x+a)^2)^2[/mm]
Du kannst nun oben den Term [mm] (x^2+a) [/mm] ausklammern und kürzen und erreichst damit eine nette Vereinfachung des Ausdrucks.
Nie blindlings ausmultiplizieren, sondern immer gucken, ob's was zu kürzen gibt!
Gruß v. Angela
>
> g''(x) = [mm]\bruch{4x^5 + 8x^2 + 4ax - 8x^5 - 8xa^2}{ ((x^2 + a )^2)^2 }[/mm]
>
> g''(x) = [mm]\bruch{12x^5 + 8x^3 - 4xa^2}{((x^2 + a)^2)^2}[/mm]
>
> Ich setze jetzt die vorher erhaltenen Werte in die zweite
> Ableitung ein.
>
> [mm]g''(\wurzel{a}) = 12 *( \wurzel{a})^5 + 8 * (\wurzel{a})^3 - 4 * \wurzel{a} * a^2 > 0[/mm]
>
> Das bedeutet: [mm]\wurzel{a}[/mm] ist Stelle einen Minimums
>
> [mm]g''(-\wurzel{a}) = 12 * (-\wurzel{a})^5 + 8 * (-\wurzel{a})^3 - 4 * (-\wurzel{a}) * a^2 < 0[/mm]
>
> Das bedeutet: [mm]- \wurzel{a}[/mm] ist Stelle eines Maximums.
>
> Und meine Frage ist folgende.
>
> Beim ansehen der Grafik sehe ich das [mm]x_e = 1[/mm] und somit ist
> [mm]\wurzel{a} [/mm] ein Maximum.
>
> Und [mm]x_e = -1[/mm] was meiner Meinung nach bedeutet, das
> [mm]-\wurzel{a}[/mm] ein Minumum ist.
>
> Kann es sein, dass Ich bei der zweiten Ableitung einen
> Vorzeichenfehler machte? Oder habe Ich hier einfach nur
> einen Denkfehler?
>
> Ich habe die Frage in keinen anderen Forum gestellt
>
> Vielen Dank für euere Hilfe im Vorraus.
>
> Gruß Dust.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:59 Do 30.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Angela:
alles was Du oben gemacht hast geht nur für a>0.
Untersuche also noch die Fälle a=0 und a<0.
FRED
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