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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Mi 18.05.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | | Mit Hilfe der Differentialrechnung zeige man ,dass die Summe der beiden Funktionen arctan(x) und arccot(x) konstant ist. Geben Sie den Wert der Konstanten an. |
Hallo,
mit dieser Aufgabe komme ich leider noch nicht so wirklich klar. Weiß ehrlich gesagt nicht ganz genau was die von mir wollen. Aber ich hab mich erstmal dran Versuch^^.
Hier erst einmal mein Ansatz:
arctan(x)+arccot(x) = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] Dies habe ich in einer Formelsammlung gefunden. Wie man allerdings auf den [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] kommt weiß ich nicht.
Dann hab ich mir mal so gedacht ich bilde die erste ableitung von arctan(x) und vom arccot(x)
Die lauten dann:
-für f(x)= arctan(x)
f´ [mm] (x)=\bruch{1}{1+x^{2}}
[/mm]
und für f(x) = arccot
f´(x)=- [mm] \bruch{1}{1+x^{2}}
[/mm]
Die Summe entspricht dann aber nicht [mm] \bruch{\pi}{2}. [/mm] Was mache ich falsch? Kann mir jemand die Aufgabe erklären wenn ich etwas falsch mache?
Mfg
RWBK
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Mi 18.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Du hast nichts falsch gemacht ! Setze
g(x):= arctan(x)+arccot(x)
Dann hast Du richtig gerechnet:
g'(x) =0 für jedes x [mm] \in \IR.
[/mm]
Damit ist die Funktion g auf [mm] \IR [/mm] konstant, also ist
g(x)=g(0)=0 [mm] +\bruch{\pi}{2}= \bruch{\pi}{2} [/mm] für jedes x
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Mi 18.05.2011 | | Autor: | RWBK |
Hallo Fred,
danke erst einmal für deine schnelle Antwort. Freut mich das ich was richtig gemacht habe^^. Aber deine Antwort verstehe ich noch nicht ganz.Sorry! Meine funktion f(x) = arctan(x)+arccot(x) [mm] =\bruch{\pi}{2}
[/mm]
f´(x) = ...( die Ableitungen eintragen schenke ich mir jetzt mal)=0
Das ist mir bis hier her ist mir alles klar dann ist Schluss. Denn das mit dem g bzw f auf [mm] \IR [/mm] KONSTANT versteh ich noch nicht. Ist vllt einrichtig dumme Frage aber kannst du mir das noch etwas genauer erklären?
Mfg
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Hallo RWBK,
> Hallo Frad,
Fred? Freud?
>
> danke erst einmal für deine schnelle Antwort. Freud
Freud? Fred? Freut?
> mich
> das ich was richtig gemacht habe^^. Aber deine Antwort
> verstehe ich noch nicht ganz.Sorry! Meine funktion f(x) =
> arctan(x)+arccot(x) [mm]=\bruch{\pi}{2}[/mm]
> f´(x) = ...( die Ableitungen eintragen schenke ich mir
> jetzt mal)=0
> Das ist mir bis hier her ist mir alles klar dann ist
> Schluss. Denn das mit dem g bzw f auf [mm]\IR[/mm] KONSTANT versteh
> ich noch nicht. Ist vllt einrichtig dumme Frage aber kannst
> du mir das noch etwas genauer erklären?
Nun, die Ableitung ist überall 0, also [mm]f'(x)=0[/mm]
Wie kommst du an f?
Durch Integration, lax geschrieben: [mm]f(x)=\int{f'(x) \ dx}=\int{0 \ dx}=c[/mm], c konstant
Die Konstante c ermittelst du, indem du irgendein reelles Argument in [mm]f[/mm] stopfst, f nimmt ja für alle reellen Argumente denselben Wert c an.
Der Einfachheit halber setze [mm]x=0[/mm] ein:
[mm]c=f(0)=\arctan(0)+\arccot(0)=\pi/2[/mm]
>
> Mfg
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Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:39 Do 19.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo RWBK,
>
> > Hallo Frad,
>
> Fred? Freud?
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> >
> > danke erst einmal für deine schnelle Antwort. Freud
>
> Freud? Fred? Freut?
>
Nennt mich einfach Fräd
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Do 19.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend:
Das dürfte Dir doch bekannt sein (zeigen kann man das mit dem Mittelwertsatz):
Ist I ein Intervall in [mm] \IR [/mm] und $f:I [mm] \to \IR$ [/mm] differenzierbar und gilt f'(x) =0 für jedes x [mm] \in [/mm] I, so ist f auf I konstant.
FRÄD
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