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Differentialrechnung: log.Abl.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:29 Di 10.01.2006
Autor: apfeltorti

Aufgabe
[mm] y=e^x^cos^x [/mm]

Hallo,

eigentlich soll man diese Aufgabe mit der Logarithmischen Ableitung lösen, aber mit der Kettenregel sollte es doch auch funktionieren, oder?

Hier ist meine Lösung:

[mm] y'=e^x^cos^x [/mm] (cosx-x sinx)

Bitte um eine kleine Erläuterung der log.Abl., mit der komme ich so gar nicht klar.
Vielen Dank im Vorraus

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Differentialrechnung: Erläuterung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 Di 10.01.2006
Autor: Loddar

Hallo apfeltorti,

[willkommenmr] !!


Oh, eine (angehende) Bau-Ingenieurin ... Fein, da fühle ich mich nicht mehr so alleine ;-) ...


Du meinst diese Funktion hier?   [mm]y=e^{x*\cos(x)}[/mm]


> Hier ist meine Lösung:
>  
> [mm]y'=e^{x*\cos x}*(\cos x-x*\sin x)[/mm]

[daumenhoch] Richtig!


Bei der logarithmischen Ableitung wird die Ausgangsfunktion zunächst logarithmiert und durch Anwendung der MBLogarithmusgesetze vereinfacht (das ist nämlich Sinn und Zweck der logarithmischen Ableitung).

[mm] $\ln(y) [/mm] \ = \ [mm] \ln\left[e^{x*\cos(x)}\right] [/mm] \ = \ [mm] x*\cos(x)*\ln(e) [/mm] \ = \ [mm] x*\cos(x)$ [/mm]


Und nun wird auf beiden Seiten wie gewohnt abgeleitet. Dabei ist auch auf der linken Seite die MBKettenregel anzuwenden, da ja gilt: $y \ = \ y(x)$ !


[mm] $\bruch{1}{y}*y' [/mm] \ = \ [mm] 1*\cos(x)+x*[-\sin(x)] [/mm] \ = \ [mm] \cos(x)-x*\sin(x)$ [/mm]


Und durch Multiplikation mit $y_$ sowie Einsetzen des Funktionstermes erhalten wir auch hier diesselbe Ableitung wie oben.


Gruß
Loddar

Bezug
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