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| Aufgabe | Gegeben ist das Differentialgleichungssystem [mm] \dot{x}=Ax [/mm] mit
[mm] A=\pmat{ 4 & 5 \\ 5 & 4 }
[/mm]
Man untersuche das Stabilitätsverhalten der Gleichgewichtslage (GGL) [mm] x_0=o; [/mm] gebe den Typ der GGL an und skizziere das Phasenportrait. |
Hallo,
ich würde ganze gerne wissen, ob mein Vorgehen bzw. meine Lösung richtig ist.
Bestimmung des charakteristischen Polynoms über [mm] A-\lambda [/mm] E
[mm] \pmat{ 4 & 5 \\ 5 & 4 }-\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \lambda}=\pmat{ 4-\lambda & 5 \\ 5 & 4-\lambda }=(4-\lambda)^2-25=\lambda^2-8\lambda+16-2=\lambda^2-8\lambda-9
[/mm]
[mm] \lambda_1=9 \qquad \lambda_2=-1
[/mm]
EV zu [mm] \lambda_1=9
[/mm]
[mm] \pmat{ 4 & 5 \\ 5 & 4 }-\pmat{ 9 & 0 \\ 0 &9}=\pmat{ -5 & 5 \\ 5 & -5 }
[/mm]
[mm] v_1=\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
EV zu [mm] \lambda_2=-1
[/mm]
[mm] \pmat{ 4 & 5 \\ 5 & 4 }-\pmat{ -1 & 0 \\ 0 &-1}=\pmat{ 5 & 5 \\ 5 & 5 }
[/mm]
[mm] v_2=\vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
Allgemeine Lösung:
[mm] C_1 \vektor{1 \\ 1}e^{9x}+C_2\vektor{-1\\1}e^{-x}
[/mm]
Ein Studienkollege meinte zu mir man kann alleine schon an den Eigenwerten auf das Stabilitätsverhalten der Gleichgewichtslage schließen. Wenn einer der Eigenwerte positiv ist, soll die Gleichgewichtslage automatisch instabil sein, ist das so und reicht es als Begründung?
Also würde man hier von einer asymptotisch instabilen Lage sprechen?
Ich hoffe das Phasenportrait ist richtig, aber ich verstehe nicht ganz wie man auf die Pfeilrichtungen kommt. Es erschließt sich mir nicht ganz, ich habe es nur so gemacht, dass es asymptotischen Instabilität entspricht.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielen Dank im Voraus!
PS:Ich habe leider die Funktion nicht gefunden, dass ich Bilder hier hochladen kann. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
EDIT: Ich habs doch noch gefunden 
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo mtr-studi,
> Gegeben ist das Differentialgleichungssystem [mm]\dot{x}=Ax[/mm] mit
> [mm]A=\pmat{ 4 & 5 \\ 5 & 4 }[/mm]
> Man untersuche das
> Stabilitätsverhalten der Gleichgewichtslage (GGL) [mm]x_0=o;[/mm]
> gebe den Typ der GGL an und skizziere das Phasenportrait.
>
> Hallo,
> ich würde ganze gerne wissen, ob mein Vorgehen bzw. meine
> Lösung richtig ist.
>
> Bestimmung des charakteristischen Polynoms über [mm]A-\lambda[/mm]
> E
>
> [mm]\pmat{ 4 & 5 \\ 5 & 4 }-\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \lambda}=\pmat{ 4-\lambda & 5 \\ 5 & 4-\lambda }=(4-\lambda)^2-25=\lambda^2-8\lambda+16-2=\lambda^2-8\lambda-9[/mm]
>
> [mm]\lambda_1=9 \qquad \lambda_2=-1[/mm]
>
> EV zu [mm]\lambda_1=9[/mm]
> [mm]\pmat{ 4 & 5 \\ 5 & 4 }-\pmat{ 9 & 0 \\ 0 &9}=\pmat{ -5 & 5 \\ 5 & -5 }[/mm]
>
> [mm]v_1=\vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
> EV zu [mm]\lambda_2=-1[/mm]
> [mm]\pmat{ 4 & 5 \\ 5 & 4 }-\pmat{ -1 & 0 \\ 0 &-1}=\pmat{ 5 & 5 \\ 5 & 5 }[/mm]
>
> [mm]v_2=\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
>
>
> Allgemeine Lösung:
> [mm]C_1 \vektor{1 \\ 1}e^{9x}+C_2\vektor{-1\\1}e^{-x}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ein Studienkollege meinte zu mir man kann alleine schon an
> den Eigenwerten auf das Stabilitätsverhalten der
> Gleichgewichtslage schließen. Wenn einer der Eigenwerte
> positiv ist, soll die Gleichgewichtslage automatisch
> instabil sein, ist das so und reicht es als Begründung?
>
Ja, das reicht.
> Also würde man hier von einer asymptotisch instabilen Lage
> sprechen?
>
Die Lage des Gleichgewichtspunktes ist instabil.
>
> Ich hoffe das Phasenportrait ist richtig, aber ich verstehe
> nicht ganz wie man auf die Pfeilrichtungen kommt. Es
Die Pfeile deuten die Richtung der Bewegung an.
> erschließt sich mir nicht ganz, ich habe es nur so
> gemacht, dass es asymptotischen Instabilität entspricht.
>
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
> PS:Ich habe leider die Funktion nicht gefunden, dass ich
> Bilder hier hochladen kann.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> EDIT: Ich habs doch noch gefunden
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Di 23.07.2013 | | Autor: | mtr-studi |
Das lief doch mal gut, vielen Dank - perfekt !
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