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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:18 So 23.09.2007 | | Autor: | JanJan |
| Aufgabe | Welche Funktionen [mm] z:\IR^{4} \to \IR^{4} [/mm] lösen das folgende Differentialgleichungssystem?
[mm] z_{1}'(t) [/mm] = [mm] -2z_{1}'(t)
[/mm]
[mm] z_{2}'(t) [/mm] = [mm] -2z_{4}'(t)
[/mm]
[mm] z_{3}'(t) [/mm] = [mm] 2z_{3}'(t)
[/mm]
[mm] z_{4}'(t) [/mm] = [mm] -2z_{2}'(t) [/mm] |
Erstmal hat mich dieses [mm]z:\IR^{4} \to \IR^{4} [/mm] irritiert, kann ich das als Spaltenvektor mit 4 Zeilen auffassen?
[mm] z=\pmat{z_{1}(t)\\z_{2}(t)\\z_{3}(t)\\z_{4}(t)}
[/mm]
Unter der Annahme, dass dies geht, suchte ich Funktionen, die die angegebenen Forderungen erfüllen würden:
[mm] z_{1}(t)= e^{-2t}+c_{1}
[/mm]
[mm] z_{3}(t)= e^{2t}+c_{3} [/mm]
[mm] z_{2}(t) [/mm] und [mm] z_{4}(t) [/mm] waren etwas schwieriger, aber dennoch knackbar:
[mm] z_{2}'(t) =-2z_{4}(t)
[/mm]
[mm] =-2\integral{z_{4}'(t) dt}
[/mm]
[mm] =-2\integral{(-2z_{2}(t)) dt}
[/mm]
[mm] =4\integral{z_{2}(t) dt}
[/mm]
Also: [mm] z_{2}''(t) =4z_{2}(t)
[/mm]
Wenn ich annehme, dass es sich bei [mm] z_{2}(t) [/mm] um eine Funktion der Form [mm] e^{u} [/mm] handelt und zweimal ableite, wie oben, erhielte ich somit:
[mm] (e^{u})''= e^{u}*u'*u' [/mm]
Also muss gelten: [mm]u'*u'=4 \gdw u'=2 [/mm] Also [mm]u= 2t[/mm]
und somit [mm] z_{2}(t)=e^{2t}+c_{2}
[/mm]
Analog geht die Rechnung für [mm] z_{4}(t) [/mm] = [mm] e^{2t}+c_{4}
[/mm]
Also:
[mm] z(t)=\pmat{e^{-t}+c_{1}\\e^{2t}+c_{2}\\ e^{t}+c_{3}\\e^{2t}+c_{4}} (c_{1},c_{2},c_{3},c_{4} [/mm] sind [mm] \in \IR) [/mm]
Stimmt diese Rechnung???
Frage: Wäre eine Funktion [mm] z:\IC^{4} \to \IC^{4} [/mm] gesucht gewesen, wären dann meine c´s [mm] \in \IC [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 So 23.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Welche Funktionen [mm]z:\IR^{4} \to \IR^{4}[/mm] lösen das folgende
> Differentialgleichungssystem?
>
> [mm]z_{1}'(t)[/mm] = [mm]-2z_{1}'(t)[/mm]
> [mm]z_{2}'(t)[/mm] = [mm]-2z_{4}'(t)[/mm]
> [mm]z_{3}'(t)[/mm] = [mm]2z_{3}'(t)[/mm]
> [mm]z_{4}'(t)[/mm] = [mm]-2z_{2}'(t)[/mm]
Ich nehme an, das die Ableitungen auf den rechten Seiten zuviel sind.
> Erstmal hat mich dieses [mm]z:\IR^{4} \to \IR^{4}[/mm] irritiert,
> kann ich das als Spaltenvektor mit 4 Zeilen auffassen?
>
> [mm]z=\pmat{z_{1}(t)\\z_{2}(t)\\z_{3}(t)\\z_{4}(t)}[/mm]
Ja, das kannst du, und das System als Matrixgleichung schreiben:
[mm]z' = A\cdot z[/mm]
Dabei ist die Matrix A konstant. Solche Systeme sind immer lösbar.
> Unter der Annahme, dass dies geht, suchte ich Funktionen,
> die die angegebenen Forderungen erfüllen würden:
>
> [mm]z_{1}(t)= e^{-2t}+c_{1}[/mm]
> [mm]z_{3}(t)= e^{2t}+c_{3}[/mm]
Mach die Probe durch einsetzen, und du siehst, dass diese Funktionen keine Lösungen sind. Richtig ist:
[mm]z_{1}(t)= c_1e^{-2t}[/mm]
[mm]z_{3}(t)= c_3e^{2t}[/mm]
> [mm]z_{2}(t)[/mm] und [mm]z_{4}(t)[/mm] waren etwas schwieriger, aber dennoch
> knackbar:
>
> [mm]z_{2}'(t) =-2z_{4}(t)[/mm]
> [mm]=-2\integral{z_{4}'(t) dt}[/mm]
>
> [mm]=-2\integral{(-2z_{2}(t)) dt}[/mm]
> [mm]=4\integral{z_{2}(t) dt}[/mm]
>
> Also: [mm]z_{2}''(t) =4z_{2}(t)[/mm]
Dafür brauchst du nicht integrieren, sondern nur ableiten:
[mm]z_2(t) = -\bruch{1}{2} z'_4(t) = -\bruch{1}{2} \left(-\bruch{1}{2} z'_2(t)\right)' = \bruch{1}{4} z''_2(t)[/mm]
> Wenn ich annehme, dass es sich bei [mm]z_{2}(t)[/mm] um eine
> Funktion der Form [mm]e^{u}[/mm] handelt und zweimal ableite, wie
> oben, erhielte ich somit:
>
> [mm](e^{u})''= e^{u}*u'*u'[/mm]
>
> Also muss gelten: [mm]u'*u'=4 \gdw u'=2[/mm] Also [mm]u= 2t[/mm]
Nicht ganz: es gibt zwei Lösungen [mm]u_1=2[/mm] und [mm]u_2=-2[/mm].
> und somit [mm]z_{2}(t)=e^{2t}+c_{2}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]z_2(t)=c_{2a} e^{2t} +c_{2b} e^{-2t}[/mm]
> Analog geht die Rechnung für [mm]z_{4}(t)[/mm] = [mm]e^{2t}+c_{4}[/mm]
Hier kannst du einfach [mm]z_4(t) = -1/2 z'_2(t)[/mm] einsetzen und bekommst
[mm]z_4(t) = -c_{2a} e^{2t} +c_{2b} e^{-2t}[/mm]
> Frage: Wäre eine Funktion [mm]z:\IC^{4} \to \IC^{4}[/mm] gesucht
> gewesen, wären dann meine c´s [mm]\in \IC[/mm] ?
Ich würde die Konstanten immer erst einmal als komplex annehmen. Sie werden durch die Anfangbedingungen bestimmt, und die weißt du hier ja gar nicht.
Beispiel: wäre deine DGL
[mm]z_{2}''(t) =\red{-}4z_{2}(t)[/mm]
so wäre die allgemeine Lösung
[mm]z_2(t)=c_{2a} e^{2it} +c_{2b} e^{-2it}[/mm]
Je nach Anfangsbedingung können die Konstanten reell oder komplex sein, auch wenn die gesuchte Lösung reell ist.
Viele Grüße
Rainer
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