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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Sa 27.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | (i) Sei A eine (komplexwertige) quadratische Matrix. Berechnen Sie [mm] e^{A} [/mm] in den folgenden Situationen:
(a) [mm] A^2=\alpha*A [/mm] mit [mm] \alpha \in \IR
[/mm]
(b) A hat Blockdiagonalgestalt, d.h.
[mm] \begin{bmatrix}
A_1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \dots & \vdots \\
0 & \cdots & A_r
\end{bmatrix} [/mm]
mit quadratischen Matrizen [mm] A_1,...,A_r.
[/mm]
(c) [mm] A=\pmat{3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
[mm] A=\pmat{1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1}
[/mm]
(ii) Finden Sie 2 [mm] \times [/mm] 2 Matrizen A und B mit [mm] e^{A+B} \not= e^{A}e^{B} [/mm] |
Ich würde diese Aufgabe gerne möglichst eigenständig hinbekommen, aber ich habe noch nicht ganz begriffen, was hier eigentlich gemacht werden soll.
Ich werde meine Ideen als Mitteilungen an diese Frage anheften.
Kann mir jemand bitte bei meiner eigenständigen Erarbeitung behilflich sein und einen Blick auf meine Mitteilungen werfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Sa 27.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Sehe ich das richtig, dass man hier das sog. Matrixexponential berechnen soll?
Dann hätte ich ja wenigstens schonmal einen Ansatzpunkt!
Ich verstehe aber nicht, was mit [mm] A^2=\alpha*A [/mm] gemeint ist.
[mm] A*A=\alpha*A??? [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Sa 27.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
[mm] e^{A} [/mm] ist anscheinend das Matrixexponential .
Da habe ich mich mal schlau gemacht und habe u.a. für die große Matrix in (c) herausgefunden, dass man diese zerlegen kann in einen diagonalen und einen nilpotenten Anteil:
Sprich:
[mm] \underbrace{\pmat{3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1}}_{=A}= \underbrace{\pmat{3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1}}_{=D} [/mm] + [mm] \underbrace{\pmat{0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}}_{=N}, [/mm] wobei die leeren Stellen für Nullen stehen sollen.
Und dann kann man [mm] e^{A} [/mm] berechnen mit [mm] e^{A}=e^{D+N}=e^{D}e^{N}, [/mm] da DN=ND [ habe ich ausprobiert, das stimmt].
Für [mm] e^{D} [/mm] gilt, dass man für jeden Diagonaleintrag [mm] d_{ii} [/mm] in D schreiben kann: [mm] e^{d_{ii}}.
[/mm]
Für die nilpotente Matrix N gilt: [mm] N^3=0. [/mm] Das heißt, man berechnet [mm] e^{N} [/mm] mit
[mm] e^{N}=E+N+\bruch{N^2}{2}.
[/mm]
Insgesamt komme ich dann auf:
[mm] e^{N}=\pmat{1 & 1 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1}.
[/mm]
Und wenn ich jetzt [mm] e^{D}e^{N} [/mm] berechne, so komme ich letztendlich auf:
[mm] e^{A}=\pmat{e^3 & e^3 & \bruch{e^3}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & e^3 & e^3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & e^3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & e^4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & e^4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e}.
[/mm]
Ist das so korrekt?...
[Rechenfehler sind mir nicht so wichtig, aber ich wüsste gerne, ob ich das Ziel dieser Aufgabe begriffen habe.]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Sa 27.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Da man einfach nur zwei 2 [mm] \times [/mm] 2 Matrizen "finden" soll, reicht es doch, wenn man einfach z.B. angibt:
[mm] A=\pmat{2 & 3 \\ -5 & 1}
[/mm]
[mm] B=\pmat{-1 & -4 \\ 3 & 2}
[/mm]
mit [mm] AB=\pmat{7 & -2 \\ 8 & 22} \not= \pmat{18 & -7 \\ -4 & 11}=BA
[/mm]
Für diese Matrizen gilt:
[mm] e^{A+B}=\pmat{9,85693 & -11,679 \\ -23,3581 & 33,215} [/mm] sowie
[mm] e^{A}e^{B}=\pmat{-5,46969 & -2,29287 \\ 3,78448 & -4,6886}
[/mm]
Also [mm] e^{A+B}\not= e^{A}e^{B}.
[/mm]
Oder muss man das noch explizit zeigen?
Ich finde die Frage so formuliert, dass man halt nur zwei solche Matrizen finden soll...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Sa 27.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
[mm] A=\pmat{1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1} [/mm]
Berechnung der Jordanschen Normalform :
Das charakteristische Polynom lautet hier:
[mm] \chi_{A}(x)=det \pmat{x-1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & x-1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & x-1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & x-1}.
[/mm]
Daraus ergibt sich z.B. durch Entwicklung nach der ersten Zeile:
[mm] \chi_{A}(x)=x^4-4x^3=(x-4)x^3.
[/mm]
[mm] \Rightarrow \xi_1=0 [/mm] mit [mm] \mu(0)=3 [/mm] sowie [mm] \xi_2=4 [/mm] mit [mm] \mu(4)=1
[/mm]
Damit ist bereits bekannt, dass zum Eigenwert 0 ein 3er-Block und zum Eigenwert 4 ein 1er-Block besteht.
Bestimmung der zugehörigen Eigenräume:
[mm] \xi_1=0:
[/mm]
[mm] E(\xi_1)=ker(A)=<\pmat{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\pmat{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0},\pmat{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}>
[/mm]
[mm] \xi_2=4:
[/mm]
[mm] E(\xi_2)=ker(A-4E_4)=ker\pmat{-3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -3}=<\pmat{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}>
[/mm]
Man kann in diesem Fall sofort die Jordanbasis bestimmen, nämlich [mm] \{\pmat{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\pmat{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0},\pmat{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1},
\pmat{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}\}.
[/mm]
Die Transformationsmatrix W lautet dann:
[mm] W=\pmat{-1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1}.
[/mm]
Bezeichne J die Jordanform [mm] \pmat{0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4} [/mm] [Aus den Dimensionen der Eigenräume folgt ja die Anzahl der Kästchen innerhalb der Eigenwertblöcke], so gilt also:
[mm] J=W^{-1}AW
[/mm]
[mm] \Rightarrow WJW^{-1}=A
[/mm]
Es gilt:
[mm] e^{A}=e^{WJW^{-1}}=We^{J}W^{-1} [/mm] mit
[mm] e^{J}=exp(J_{a1}(\xi_1))\oplus exp(J_{a2}(\xi_2))
[/mm]
D.h. das Exponential jeden Jordanblocks ist zu finden.
Jeder Jordanblock hat die Form [mm] J_a(\xi)=\xi E_4+N, [/mm] wobei N hier wegfällt.
D.h. [mm] e^{\xi E_4}=e^\xi.
[/mm]
Also
[mm] J=J_3(0)\oplus J_1(4) [/mm] und [mm] e^{A}=W(e^{J_3(0)}\oplus e^{J_1(4)})W^{-1},
[/mm]
[mm] exp[0]=\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] und
[mm] exp[4E_1]=(e^4);
[/mm]
[mm] e^{J}=\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & e^4} [/mm] und damit abschließend:
[mm] e^{A}=\pmat{\bruch{e^4}{4}+\bruch{3}{4} & \bruch{e^4}{4}-\bruch{1}{4} & \bruch{e^4}{4}-\bruch{1}{4} & \bruch{e^4}{4}-\bruch{1}{4} \\ \bruch{e^4}{4}-\bruch{1}{4} & \bruch{e^4}{4}+\bruch{3}{4} & \bruch{e^4}{4}-\bruch{1}{4} & \bruch{e^4}{4}-\bruch{1}{4} \\ \bruch{e^4}{4}-\bruch{1}{4} & \bruch{e^4}{4}-\bruch{1}{4} & \bruch{e^4}{4}+\bruch{3}{4} & \bruch{e^4}{4}-\bruch{1}{4} \\ \bruch{e^4}{4}-\bruch{1}{4} & \bruch{e^4}{4}-\bruch{1}{4} & \bruch{e^4}{4}-\bruch{1}{4} & \bruch{e^4}{4}+\bruch{3}{4}}.[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Sa 27.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja [mm] A*A=\alpha*A
[/mm]
und damit kannst du dann die höheren Potenzen auch. [mm] e^A [/mm] wird durch die Exponentialreihe z. Bsp für [mm] e^x [/mm] und statt x A einsetzen definiert.
und jetzt einfach rechnen.
d.h. du musst in den verschiedenen Fällen [mm] A^n [/mm] ausrechnen n=1,2,...
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Sa 27.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Aufgabenteil (i) c) habe ich nun fertig.
Aber ich komme nicht zurecht mit (a) und (b).
Bei c) konnte man ja konkret rechnen, aber für (a) und (b) habe ich einfach keine Idee, was man da überhaupt machen könnte. |
Bitte helft mir mit (a) und (b)...
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Hallo dennis2,
> Aufgabenteil (i) c) habe ich nun fertig.
>
> Aber ich komme nicht zurecht mit (a) und (b).
>
> Bei c) konnte man ja konkret rechnen, aber für (a) und (b)
> habe ich einfach keine Idee, was man da überhaupt machen
> könnte.
> Bitte helft mir mit (a) und (b)...
Wie leduart schon schrieb, mußt Du sämtliche Potenzen von A
mit Hilfe des Zusammenhangs
[mm]A^{2}=\alpha*A[/mm]
herleiten.
Um jetzt [mm]A^{3}[/mm] auszudrücken, multipliziert man
diese Gleichung von rechts mit der Matrix A:
[mm]A^{2}*A=\alpha*A*A \gdw A^{3}=\alpha*A^{2}[/mm]
[mm]\Rightarrow A^{3}=\alpha*A^{2}=\alpha*\alpha*A=\alpha^{2}*A[/mm]
So können die weiteren Potenzen von A ausgedrückt werden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Sa 27.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Das heißt:
[mm] A^3=A^2*A=\alpha*A*A=\alpha A^2=\alpha \alpha A=\alpha^2 [/mm] A
Dann [mm] A^4=A^3A=\alpha^2 [/mm] A [mm] A=\alpha^2 A^2=\alpha^2 \alpha A=\alpha^3 [/mm] A
usw usw...
Das ist schon die Lösung der Aufgabe (a)?
Mir schwebte jetzt irgendwie vor, dass man hier auch wie bei (b) irgendéine Matrix bekommt oder so... |
Das ist schon die Lösung der Aufgabe (a)?
Mir schwebte jetzt irgendwie vor, dass man hier auch wie bei (b) irgendéine Matrix bekommt oder so...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Sa 27.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Kann man allgemein sagen:
[mm] e^{A}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{A^k}{k!}=1+A+\bruch{\alpha A}{2!}+\bruch{\alpha^2 A}{3!}+\bruch{\alpha^3 A}{4!}+...
[/mm]
??
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Hallo dennis2,
> Das heißt:
>
> [mm]A^3=A^2*A=\alpha*A*A=\alpha A^2=\alpha \alpha A=\alpha^2[/mm] A
>
> Dann [mm]A^4=A^3A=\alpha^2[/mm] A [mm]A=\alpha^2 A^2=\alpha^2 \alpha A=\alpha^3[/mm]
> A
>
>
> usw usw...
>
>
> Das ist schon die Lösung der Aufgabe (a)?
> Mir schwebte jetzt irgendwie vor, dass man hier auch wie
> bei (b) irgendéine Matrix bekommt oder so...
> Das ist schon die Lösung der Aufgabe (a)?
Nein, das ist nicht die Lösung zu a)
Das ist erstmal der Zusammenhang, wie Du die verschiedenen Potenzen
von A in Abhängigkeit von der Matrix A ausdrücken kannst.
> Mir schwebte jetzt irgendwie vor, dass man hier auch wie
> bei (b) irgendéine Matrix bekommt oder so...
In der Mitteilung von Dir steht die Lösung.
Schreibe hier statt "1" die Identitätsmatrix E.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Sa 27.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Super, danke!
Jetzt fehlt ja bloß noch (b).
Es muss ja auch hier irgendeine allgemeine Lösung geben...
Wenn A Blockdiagonalgestalt hat und sich also aus quadratischen Matrizen [mm] A_1,...,A_r [/mm] zusammensetzt, so fällt mir dazu jetzt nur spontan ein, dass man jede einzelne Matrix auf Jordanform bringen könnte: Dann wäre für jede Matrix [mm] A_1,...,A_r [/mm] eine Aufteilung in einen diagonalen und einen nilpotenten Anteil (die Einsen auf der oberen bzw. unteren Nebendiagonalen) möglich.
Aber inwiefern hilft das hier weiter?!...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Sa 27.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Hat noch jemand eine Hilfe für (i) (b)? |
Ich würde die Aufgabe sehr gerne heute noch beenden, aber mir fehlt eine konstruktive Idee...
Mag jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Sa 27.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich würde sagen, man kann die Matrix A auch hier wieder auf die Jordansche Normalform bringen, indem man einfach jede quadratische Matrix [mm] A_1,...,A_r [/mm] auf die Jordanform bringt:
Dann hätte man auf der Hauptdiagonalen alle möglichen Eigenwerte stehen und auf der oberen Nebendiagonalken lauter Einsen.
Dann hat man wieder die Aufteilung in eine Diagonalmatrix D und eine nilpotente Matrix N.
Das müsste dann wieder kommutativ sein, sodass man wieder rechnen kann:
[mm] e^{A}=e^{D}e^{N}.
[/mm]
Für [mm] e^{D} [/mm] hätte man auf der Diagonalen Einträge der Form [mm] e^{\lambda_1},...,e^{\lambda_r}, [/mm] wobei [mm] \lambda_1,...,\lambda_r [/mm] die Eigenwerte der Matrix A sind.
Und für [mm] e^{N} [/mm] könnte man wieder nutzen [mm] e^{N}=E+N+\bruch{N^2}{2!}+...+\bruch{N^{p-1}}{(p-1)!}, [/mm] wobei [mm] N^p=0.
[/mm]
[Wäre p hier nicht gleich n, da ja die Einsen auf der oberen Nebendiagonalen stehen und man ja n-mal potenzieren muss, damit die Nullmatrix herauskommt?].
Insgesamt hätte man dann doch dann exemplarisch für die erste Zeile:
[mm] e^{N}=\pmat{1 & 1 & \bruch{1}{2} & \bruch{1}{6} ...}
[/mm]
[mm] e^{A} [/mm] könnte man dann auch errechnen.
Aber ganz stimmen kann es nicht.
Denn man muss doch irgendwie bestimmt wieder die ganzen Transformationsmatrizen einbeziehen, die sich am Anfang ergeben haben....
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Hallo dennis2,
> Hat noch jemand eine Hilfe für (i) (b)?
> Ich würde die Aufgabe sehr gerne heute noch beenden, aber
> mir fehlt eine konstruktive Idee...
>
> Mag jemand helfen?
>
Das ist immer dasselbe Spiel.
Berechne auch hier sämtliche Potenzen der gegebenen Blockmatrix.
Setze dies dann in die Exponentialreihe ein und fasse zusammen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Sa 27.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Aber ich kenne doch die Einträge der einzelnen quadratischen Matrizen gar nicht...
Bzw. ich weiß doch gar nicht, wie diese aussehen... |
Seltsame Sache!...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Blockmatrizen kann man leicht potenzieren, denn es gilt z.B.
Wenn [mm] A=\pmat{ B & 0 \\ 0 & C }, [/mm] wobei B und C quadratische Matrizen sind, dann ist [mm] A^k=\pmat{ B^k & 0 \\ 0 & C^k }. [/mm] Das gilt auch für mehr als 2 Blöcke.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Sa 27.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Das war mir unbekannt, dankesehr!
D.h. dann ist die Lösung hier:
[mm] e^{A}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{A^k}{k!}=E+\begin{bmatrix}
A_1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \dots & \vdots \\
0 & \cdots & A_r
\end{bmatrix} [/mm] + [mm] \begin{bmatrix}
\bruch{A_1^2}{2!} & \cdots & 0 \\
\vdots & \dots & \vdots \\
0 & \cdots & \bruch{A_r^2}{2!}
\end{bmatrix} [/mm] + [mm] \begin{bmatrix}
\bruch{A_1^3}{3!} & \cdots & 0 \\
\vdots & \dots & \vdots \\
0 & \cdots & \bruch{A_r^3}{3!}
\end{bmatrix} [/mm] +...
?? |
Stimmt das so?
[Dann ist (i)(c) ja im Vergleich zu (a) und (b) wesentlich schwieriger...]
Vorausgesetzt ich habe da nicht auch schon wieder was falsch gemacht...![[buchlesen]](/images/smileys/buchlesen.gif "[buchlesen]")
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Hallo dennis2,
> Das war mir unbekannt, dankesehr!
>
> D.h. dann ist die Lösung hier:
>
> [mm]e^{A}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{A^k}{k!}=E+\begin{bmatrix}
A_1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \dots & \vdots \\
0 & \cdots & A_r
\end{bmatrix}[/mm]
> + [mm]\begin{bmatrix}
\bruch{A_1^2}{2!} & \cdots & 0 \\
\vdots & \dots & \vdots \\
0 & \cdots & \bruch{A_r^2}{2!}
\end{bmatrix}[/mm]
> + [mm]\begin{bmatrix}
\bruch{A_1^3}{3!} & \cdots & 0 \\
\vdots & \dots & \vdots \\
0 & \cdots & \bruch{A_r^3}{3!}
\end{bmatrix}[/mm]
> +...
>
> ??
>
> Stimmt das so?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Zusammengefasst ergibt sich:
[mm]e^{A}=\begin{bmatrix}
e^{A_{1}} & \cdots & 0 \\
\vdots & \dots & \vdots \\
0 & \cdots & e^{A_{r}}
\end{bmatrix}[/mm]
>
> [Dann ist (i)(c) ja im Vergleich zu (a) und (b) wesentlich
> schwieriger...]
>
> Vorausgesetzt ich habe da nicht auch schon wieder was
> falsch gemacht...
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Sa 27.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ja, stimmt ja... sowas sehe ich immer nicht...
1000 Dank!... Danke vielmals für die tolle Hilfe.
PS. Einen schönen 1. Advent!
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