matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferenzialrechnungDifferentialgleichungen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Differenzialrechnung" - Differentialgleichungen
Differentialgleichungen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Differentialgleichungen: Vorgehensweise & Bsp-Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:42 Di 15.05.2007
Autor: mad_the_cat

Aufgabe
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Differentialgleichung:
[mm] f'(x)=\bruch{2f(x)}{x} [/mm]

Ich versuche gerade mir das Lösen durch Separation selbst bei zu bringen (nicht sonderlich erfolgreich)

Für die Oben stehende Aufgabe muss ich f'(x) und f(x) auf die selbe Seite bringen: [mm] \bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] = [mm] \bruch{2}{x} [/mm] das sollte soweit eigentlich richtig sein.

jetzt muss ich so weit ich weis die Ableitungen von beiden Seiten bilden:
rechts ist 2ln(x)...
1. Frage Aber links soll wohl ln(f(x)) sein ich komme da nur auf [mm] \bruch{y^{2}}{2} [/mm]

(ich rechne jetzt mal mit dem richtigen Ergebnis weiter wüsste aber sehr gerne wie man darauf kommt)
Dann muss ich wohl die additive Konstante k dranhängen:
ln(f(x))=2ln(x)+k

Aber was muss ich jetzt tun?

Das Endergebnis soll so aussehen: [mm] f(x)=c*x^{2} [/mm]

Ich habe bereits beim Matheboard vor einer Woche fast die selbe Frage nur mit einer anderen Aufgabe gestellt .. Leider hab ich bisher keine Antworten bekommen :(

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[a][Dateianhang Nr. (fehlt/gelöscht)]

        
Bezug
Differentialgleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 Di 15.05.2007
Autor: leduart

Hallo
> Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Differentialgleichung:
>  [mm]f'(x)=\bruch{2f(x)}{x}[/mm]
>  Ich versuche gerade mir das Lösen durch Separation selbst
> bei zu bringen (nicht sonderlich erfolgreich)
>  
> Für die Oben stehende Aufgabe muss ich f'(x) und f(x) auf
> die selbe Seite bringen: [mm]\bruch{f'(x)}{f(x)}[/mm] = [mm]\bruch{2}{x}[/mm]
> das sollte soweit eigentlich richtig sein.

Ja  

> jetzt muss ich so weit ich weis die Ableitungen von beiden
> Seiten bilden:

das meinst du hoffentlich nicht! du musst bzw. kannst beide Seiten integrieren! also ne Stammfunktion suchen!
Wenn dus mit y schreibst steht da doch
[mm] \integral{1/y dy} [/mm] = [mm] \integral{2/x dx} [/mm]
wie du da auf [mm] y^2 [/mm] kommst weiss ich nicht, es ist doch dasselbe Integral wie rechts.
andererseit: integrieren = umkehrung von ableiten: (ln(f(x))'= 1/f(x)*f'(x) (Kettenregel) (die Formel solltest du fest im Kopf haben, sie tritt beim Integrieren immer wieder auf.

>  rechts ist 2ln(x)...
>  1. Frage Aber links soll wohl ln(f(x)) sein ich komme da
> nur auf [mm]\bruch{y^{2}}{2}[/mm]
>  
> (ich rechne jetzt mal mit dem richtigen Ergebnis weiter
> wüsste aber sehr gerne wie man darauf kommt)
>  Dann muss ich wohl die additive Konstante k dranhängen:
>  ln(f(x))=2ln(x)+k
>  
> Aber was muss ich jetzt tun?

jetzt auf beiden Seten e-hoch!
[mm] e^{ln(f(x))} [/mm] = [mm] e^{2ln(x)+k}=e^{ln(x^2)+k} [/mm]
und damit :
f(x) [mm] =x^2*e^k [/mm]  und [mm] e^k=c [/mm]

> Das Endergebnis soll so aussehen: [mm]f(x)=c*x^{2}[/mm]

Wie du siehst ist das auch richtig.
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Differentialgleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:45 Di 15.05.2007
Autor: mad_the_cat


> > jetzt muss ich so weit ich weis die Ableitungen von beiden
> > Seiten bilden:
>  das meinst du hoffentlich nicht! du musst bzw. kannst
> beide Seiten integrieren! also ne Stammfunktion suchen!

Ups meint ich ja..

> [mm]\integral{1/y dy}[/mm] = [mm]\integral{2/x dx}[/mm]
>  wie du da auf [mm]y^2[/mm]
> kommst weiss ich nicht, es ist doch dasselbe Integral wie
> rechts.

ok weis ich auch nicht wie ich darauf komme..irgendwie hab ich mich bei der Umformung ziemlich dähmlich (mit h ;) ) angestellt


>  jetzt auf beiden Seten e-hoch!
>  [mm]e^{ln(f(x))}[/mm] = [mm]e^{2ln(x)+k}=e^{ln(x^2)+k}[/mm]
>  und damit :
>  f(x) [mm]=x^2*e^k[/mm]  und [mm]e^k=c[/mm]

ist das Standart das ich an diesem Punkt e-Hoch nehmen muss?
Und wie sieht das mit dem [mm] e^{k}=c [/mm] aus? Ist das auch so eine Art Standard? oder muss ich mir das herleiten?

Aber schon einmal vielen danke..Hat mir schon jetzt ein klein wenig weiter geholfen..

Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 Di 15.05.2007
Autor: leduart

Hallo
> > > jetzt muss ich so weit ich weis die Ableitungen von beiden
> > > Seiten bilden:
>  >  das meinst du hoffentlich nicht! du musst bzw. kannst
> > beide Seiten integrieren! also ne Stammfunktion suchen!
>  Ups meint ich ja..
>  > [mm]\integral{1/y dy}[/mm] = [mm]\integral{2/x dx}[/mm]

>  >  wie du da auf
> [mm]y^2[/mm]
> > kommst weiss ich nicht, es ist doch dasselbe Integral wie
> > rechts.
>  ok weis ich auch nicht wie ich darauf komme..irgendwie hab
> ich mich bei der Umformung ziemlich dähmlich (mit h ;) )
> angestellt
>  
>
> >  jetzt auf beiden Seten e-hoch!

>  >  [mm]e^{ln(f(x))}[/mm] = [mm]e^{2ln(x)+k}=e^{ln(x^2)+k}[/mm]
>  >  und damit :
>  >  f(x) [mm]=x^2*e^k[/mm]  und [mm]e^k=c[/mm]
>  ist das Standart das ich an diesem Punkt e-Hoch nehmen
> muss?

wenn irgendwie ln von y dasteht und du y willst ja! wenn da [mm] y^2 [/mm] stünde musst du die Wurzel ziehen, also einfach so vorgehen, dass du y= dastehen hast.

>  Und wie sieht das mit dem [mm]e^{k}=c[/mm] aus? Ist das auch so
> eine Art Standard? oder muss ich mir das herleiten?

Nein, und ja, k ist ne beliebige Konstante, dann ist [mm] e^k [/mm] auch ne Konstante und [mm] k^2 [/mm] wär auch eine usw.
die Konstanten werden durch die Anfangsbedingung erst festgelegt. hier etwa sei  y(1)=3 dann folgt c=3 oder [mm] e^k=3 [/mm] also k=ln3.
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Differentialgleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:51 Di 15.05.2007
Autor: mad_the_cat


Wow.. Vielen Dank..
Ich glaube jetzt hab ich das auch vom Prinzip durchblickt..

Gruß MF

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]