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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 Di 23.08.2011 | | Autor: | ljubow |
| Aufgabe | Finden Sie die Lösung des Anfangswertproblems:
y' = y sin(2x), [mm] y(\pi) [/mm] = 1 |
Guten Tag,
Ich habe versucht nun auch diese Aufgabe zu lösen. Ich bin folgendermassen vorgegangen:
g(y) = y
f(x) = sin (2x)
[mm] \integral{\bruch{1}{y}dy} [/mm] = [mm] \integral{sin(2x)dx}
[/mm]
Substitution 2x = u, du = 2dx -> 1/2du = dx
ln(y) = 1/2 [mm] \integral{sin(u)du}
[/mm]
ln(y) = -1/2cos(u) + c
ln(y) = -1/2cos(2x) + c
y = [mm] e^{-1/2cos(2x)}e^{c}
[/mm]
y = [mm] c_2e^{-1/2cos(2x)}
[/mm]
[mm] c_2 \in \IR
[/mm]
Da es noch die Zusatzbedingung gibt:
1 = [mm] y(\pi) [/mm] = [mm] c_2e^{-1/2cos(2\pi)} [/mm] = [mm] c_2e^{-1/2}
[/mm]
[mm] c_2 \in \IR
[/mm]
Stimmt das so?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Di 23.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Finden Sie die Lösung des Anfangswertproblems:
> y' = y sin(2x), [mm]y(\pi)[/mm] = 1
> Guten Tag,
> Ich habe versucht nun auch diese Aufgabe zu lösen. Ich bin
> folgendermassen vorgegangen:
> g(y) = y
> f(x) = sin (2x)
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{y}dy}[/mm] = [mm]\integral{sin(2x)dx}[/mm]
> Substitution 2x = u, du = 2dx -> 1/2du = dx
> ln(y) = 1/2 [mm]\integral{sin(u)du}[/mm]
> ln(y) = -1/2cos(u) + c
> ln(y) = -1/2cos(2x) + c
> y = [mm]e^{-1/2cos(2x)}e^{c}[/mm]
> y = [mm]c_2e^{-1/2cos(2x)}[/mm]
> [mm]c_2 \in \IR[/mm]
>
> Da es noch die Zusatzbedingung gibt:
> 1 = [mm]y(\pi)[/mm] = [mm]c_2e^{-1/2cos(2\pi)}[/mm] = [mm]c_2e^{-1/2}[/mm]
> [mm]c_2 \in \IR[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja, aber wie lautet nun die Lösung des AWPs ?
FRED
> Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Di 23.08.2011 | | Autor: | ljubow |
> > Finden Sie die Lösung des Anfangswertproblems:
> > y' = y sin(2x), [mm]y(\pi)[/mm] = 1
> > Guten Tag,
> > Ich habe versucht nun auch diese Aufgabe zu lösen. Ich bin
> > folgendermassen vorgegangen:
> > g(y) = y
> > f(x) = sin (2x)
> >
> > [mm]\integral{\bruch{1}{y}dy}[/mm] = [mm]\integral{sin(2x)dx}[/mm]
> > Substitution 2x = u, du = 2dx -> 1/2du = dx
> > ln(y) = 1/2 [mm]\integral{sin(u)du}[/mm]
> > ln(y) = -1/2cos(u) + c
> > ln(y) = -1/2cos(2x) + c
> > y = [mm]e^{-1/2cos(2x)}e^{c}[/mm]
> > y = [mm]c_2e^{-1/2cos(2x)}[/mm]
> > [mm]c_2 \in \IR[/mm]
> >
> > Da es noch die Zusatzbedingung gibt:
> > 1 = [mm]y(\pi)[/mm] = [mm]c_2e^{-1/2cos(2\pi)}[/mm] = [mm]c_2e^{-1/2}[/mm]
> > [mm]c_2 \in \IR[/mm]
> >
> > Stimmt das so?
>
> Ja, aber wie lautet nun die Lösung des AWPs ?
Aha, also ich muss noch [mm] c_2 [/mm] ausrechnen:
[mm] c_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{e^{-1/2}}
[/mm]
und dies ist dann die Lösung des Anfangwertproblems?
>
> FRED
> > Danke!
>
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Hallo ljubow,
> > > Finden Sie die Lösung des Anfangswertproblems:
> > > y' = y sin(2x), [mm]y(\pi)[/mm] = 1
> > > Guten Tag,
> > > Ich habe versucht nun auch diese Aufgabe zu lösen. Ich bin
> > > folgendermassen vorgegangen:
> > > g(y) = y
> > > f(x) = sin (2x)
> > >
> > > [mm]\integral{\bruch{1}{y}dy}[/mm] = [mm]\integral{sin(2x)dx}[/mm]
> > > Substitution 2x = u, du = 2dx -> 1/2du = dx
> > > ln(y) = 1/2 [mm]\integral{sin(u)du}[/mm]
> > > ln(y) = -1/2cos(u) + c
> > > ln(y) = -1/2cos(2x) + c
> > > y = [mm]e^{-1/2cos(2x)}e^{c}[/mm]
> > > y = [mm]c_2e^{-1/2cos(2x)}[/mm]
> > > [mm]c_2 \in \IR[/mm]
> > >
> > > Da es noch die Zusatzbedingung gibt:
> > > 1 = [mm]y(\pi)[/mm] = [mm]c_2e^{-1/2cos(2\pi)}[/mm] = [mm]c_2e^{-1/2}[/mm]
> > > [mm]c_2 \in \IR[/mm]
> > >
> > > Stimmt das so?
> >
> > Ja, aber wie lautet nun die Lösung des AWPs ?
> Aha, also ich muss noch [mm]c_2[/mm] ausrechnen:
> [mm]c_2[/mm] = [mm]\bruch{1}{e^{-1/2}}[/mm]
[mm]=\sqrt{e}[/mm]
> und dies ist dann die Lösung des Anfangwertproblems?
Nein, das ist der Wert für [mm]c_2[/mm]
Die Lsg. des AWP ist also
[mm]y(x)=\sqrt{e}\cdot{}e^{-\frac{1}{2}\cos(2x)}[/mm]
Wie sieht's mit dem Definitionsbereich aus? Der gehört immer zur Lösung!
> >
> > FRED
> > > Danke!
> >
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Di 23.08.2011 | | Autor: | ljubow |
> Hallo ljubow,
>
>
> > > > Finden Sie die Lösung des Anfangswertproblems:
> > > > y' = y sin(2x), [mm]y(\pi)[/mm] = 1
> > > > Guten Tag,
> > > > Ich habe versucht nun auch diese Aufgabe zu lösen. Ich bin
> > > > folgendermassen vorgegangen:
> > > > g(y) = y
> > > > f(x) = sin (2x)
> > > >
> > > > [mm]\integral{\bruch{1}{y}dy}[/mm] = [mm]\integral{sin(2x)dx}[/mm]
> > > > Substitution 2x = u, du = 2dx -> 1/2du = dx
> > > > ln(y) = 1/2 [mm]\integral{sin(u)du}[/mm]
> > > > ln(y) = -1/2cos(u) + c
> > > > ln(y) = -1/2cos(2x) + c
> > > > y = [mm]e^{-1/2cos(2x)}e^{c}[/mm]
> > > > y = [mm]c_2e^{-1/2cos(2x)}[/mm]
> > > > [mm]c_2 \in \IR[/mm]
> > > >
> > > > Da es noch die Zusatzbedingung gibt:
> > > > 1 = [mm]y(\pi)[/mm] = [mm]c_2e^{-1/2cos(2\pi)}[/mm] = [mm]c_2e^{-1/2}[/mm]
> > > > [mm]c_2 \in \IR[/mm]
> > > >
> > > > Stimmt das so?
> > >
> > > Ja, aber wie lautet nun die Lösung des AWPs ?
> > Aha, also ich muss noch [mm]c_2[/mm] ausrechnen:
> > [mm]c_2[/mm] = [mm]\bruch{1}{e^{-1/2}}[/mm]
>
> [mm]=\sqrt{e}[/mm]
>
> > und dies ist dann die Lösung des Anfangwertproblems?
>
> Nein, das ist der Wert für [mm]c_2[/mm]
>
> Die Lsg. des AWP ist also
>
> [mm]y(x)=\sqrt{e}\cdot{}e^{-\frac{1}{2}\cos(2x)}[/mm]
>
Achsoo, ja das macht natürlich mehr Sinn so, danke.
Definitionsbereich: x [mm] \in \IR
[/mm]
stimmt das?
> Wie sieht's mit dem Definitionsbereich aus? Der gehört
> immer zur Lösung!
>
> > >
> > > FRED
> > > > Danke!
> > >
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
bitte vernünftig zitieren!
> > Die Lsg. des AWP ist also
> >
> > [mm]y(x)=\sqrt{e}\cdot{}e^{-\frac{1}{2}\cos(2x)}[/mm]
> >
>
> Achsoo, ja das macht natürlich mehr Sinn so, danke.
> Definitionsbereich: x [mm]\in \IR[/mm]
> stimmt das?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Also "ganz ordentlich"
[mm]y:\IR\to\IR, x\mapsto \sqrt{e}\cdot{}e^{-\frac{1}{2}\cdot{}\cos(2x)}[/mm] löst die AWA
[mm]y'(x)=y(x)\cdot{}\sin(2x), \ y(\pi)=1[/mm]
LG
schachuzipus
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