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Differentialgleichung, allg.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:25 Sa 20.08.2011
Autor: ljubow

Aufgabe
Bestimmen Sie die allgemeine Form der Lösung der Differentialgleichung y' = (1+x)(1+y) und das maximale Lösungsintervall.

Guten Abend,
Ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe. Folgendes habe ich bereits:
f(x) = 1+x, x [mm] \in \IR [/mm]
g(y) = 1+y, y [mm] \in \IR [/mm]

[mm] \integral_{1}^{y}{\bruch{1}{g(t)} dt} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{x}{f(t)dt} [/mm]

[mm] \integral_{1}^{y}{\bruch{1}{1+t} dt} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{x}{1+t dt} [/mm]
ln(2) - ln (1+y) = [mm] \integral_{1}^{x}{1dt} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{x}{t dt} [/mm]
ln(2) - ln (1+y) = x-1 + [mm] (1/2x^{2}-1/2) [/mm]
ln(2) - ln (1+y) = [mm] 1/2x^{2}+x-3/2 [/mm]

Doch hier komme ich nicht weiter mit dem rechnen...stimmt das soweit? Ich muss ja jetzt nach y auflösen...oder?
Danke!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.




        
Bezug
Differentialgleichung, allg.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Sa 20.08.2011
Autor: schachuzipus

Hallo ljubow,


> Bestimmen Sie die allgemeine Form der Lösung der
> Differentialgleichung y' = (1+x)(1+y) und das maximale
> Lösungsintervall.
>  Guten Abend,
>  Ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe. Folgendes habe
> ich bereits:
>  f(x) = 1+x, x [mm]\in \IR[/mm]
>  g(y) = 1+y, y [mm]\in \IR[/mm]
>  
> [mm]\integral_{1}^{y}{\bruch{1}{g(t)} dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{1}^{x}{f(t)dt}[/mm]
>  
> [mm]\integral_{1}^{y}{\bruch{1}{1+t} dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{1}^{x}{1+t dt}[/mm]

Wie kommst du an die Intervallgrenzen?!

Es ist doch kein Anfangswert gegeben?!

Die Dgl. ist trennbar:

[mm]y'=(1+y)(1+x)[/mm]

[mm]\Rightarrow \frac{1}{1+y} \frac{dy}{dx} \ = \ x+1[/mm] für [mm]y\not\equiv -1[/mm]

Damit [mm]\int{\frac{1}{y+1} \ dy} \ = \ \int{(x+1) \ dx}[/mm]

Also [mm]\ln(|y+1|) \ = \ \frac{1}{2}x^2+x+c[/mm] mit [mm]c\in\IR[/mm]

Weiter [mm]|y+1| \ = \ \e^{\frac{1}{2}x^2+x}\cdot{}e^c \ = \ \tilde c\cdot{}e^{\frac{1}{2}x^2+x}[/mm] mit [mm]\tilde c\ge 0[/mm]

Also [mm]y=\hat c\cdot{}e^{\frac{1}{2}x^2+x}-1[/mm] mit [mm]\hat c\in\IR[/mm]

Definitionsbereich?

Und was ist mit der konstanten Funktion [mm]y\equiv-1[/mm]?

Löst die die Dgl. (wir hatten das ja bei den Umformungen rausnehmen müssen)

yn(2) - ln (1+y) =

> [mm]\integral_{1}^{x}{1dt}[/mm] + [mm]\integral_{1}^{x}{t dt}[/mm]
>  ln(2) -
> ln (1+y) = x-1 + [mm](1/2x^{2}-1/2)[/mm]
>  ln(2) - ln (1+y) = [mm]1/2x^{2}+x-3/2[/mm]
>  
> Doch hier komme ich nicht weiter mit dem rechnen...stimmt
> das soweit? Ich muss ja jetzt nach y auflösen...oder?
>  Danke!
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
>
>  

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Differentialgleichung, allg.: kleine Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:12 Di 23.08.2011
Autor: ljubow


> Hallo ljubow,
>  
>
> > Bestimmen Sie die allgemeine Form der Lösung der
> > Differentialgleichung y' = (1+x)(1+y) und das maximale
> > Lösungsintervall.
>  >  Guten Abend,
>  >  Ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe. Folgendes habe
> > ich bereits:
>  >  f(x) = 1+x, x [mm]\in \IR[/mm]
>  >  g(y) = 1+y, y [mm]\in \IR[/mm]
>  >  
> > [mm]\integral_{1}^{y}{\bruch{1}{g(t)} dt}[/mm] =
> > [mm]\integral_{1}^{x}{f(t)dt}[/mm]
>  >  
> > [mm]\integral_{1}^{y}{\bruch{1}{1+t} dt}[/mm] =
> > [mm]\integral_{1}^{x}{1+t dt}[/mm]
>  
> Wie kommst du an die Intervallgrenzen?!
>  
> Es ist doch kein Anfangswert gegeben?!
>  
> Die Dgl. ist trennbar:
>  
> [mm]y'=(1+y)(1+x)[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \frac{1}{1+y} \frac{dy}{dx} \ = \ x+1[/mm] für
> [mm]y\not\equiv -1[/mm]
>  
> Damit [mm]\int{\frac{1}{y+1} \ dy} \ = \ \int{(x+1) \ dx}[/mm]
>  
> Also [mm]\ln(|y+1|) \ = \ \frac{1}{2}x^2+x+c[/mm] mit [mm]c\in\IR[/mm]
>  
> Weiter [mm]|y+1| \ = \ \e^{\frac{1}{2}x^2+x}\cdot{}e^c \ = \ \tilde c\cdot{}e^{\frac{1}{2}x^2+x}[/mm]
> mit [mm]\tilde c\ge 0[/mm]
>  
> Also [mm]y=\hat c\cdot{}e^{\frac{1}{2}x^2+x}-1[/mm] mit [mm]\hat c\in\IR[/mm]
>  
> Definitionsbereich?

müsste [mm] \IR [/mm] sein, oder?

>  
> Und was ist mit der konstanten Funktion [mm]y\equiv-1[/mm]?
>  
> Löst die die Dgl. (wir hatten das ja bei den Umformungen
> rausnehmen müssen)

Danke für deine ausführliche Antwort. Eine kurze Rückfrage: wieso muss c >=0 sein und dann darf es wieder [mm] \in \IR [/mm] sein, diesen Schritt habe ich nicht verstanden. Danke!

>  
> yn(2) - ln (1+y) =
> > [mm]\integral_{1}^{x}{1dt}[/mm] + [mm]\integral_{1}^{x}{t dt}[/mm]
>  >  
> ln(2) -
> > ln (1+y) = x-1 + [mm](1/2x^{2}-1/2)[/mm]
>  >  ln(2) - ln (1+y) = [mm]1/2x^{2}+x-3/2[/mm]
>  >  
> > Doch hier komme ich nicht weiter mit dem rechnen...stimmt
> > das soweit? Ich muss ja jetzt nach y auflösen...oder?
>  >  Danke!
>  >  
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>  >  
> >
> >  

>
> Gruß
>  
> schachuzipus
>  

Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichung, allg.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:25 Di 23.08.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

kleiner Tipp (auch für deine anderen Artikel):

Zitiere mit mehr Bedacht und lösche unnötige Sachen weg, sonst ist es sehr unübersichtlich.

Du zitierst oft 3 Seiten Text und stells eine kleine Rückfrage ganz versteckt mittendrin ..



> > Weiter [mm]|y+1| \ = \ \e^{\frac{1}{2}x^2+x}\cdot{}e^c \ = \ \tilde c\cdot{}e^{\frac{1}{2}x^2+x}[/mm]
> > mit [mm]\tilde c\ge 0[/mm]
>  >  
> > Also [mm]y=\hat c\cdot{}e^{\frac{1}{2}x^2+x}-1[/mm] mit [mm]\hat c\in\IR[/mm]
>  
> >  

> > Definitionsbereich?
>  müsste [mm]\IR[/mm] sein, oder?

Ja!


> Danke für deine ausführliche Antwort. Eine kurze
> Rückfrage: wieso muss c >=0 sein und dann darf es wieder
> [mm]\in \IR[/mm] sein, diesen Schritt habe ich nicht verstanden.

Nun, zunächst hatten wir linkerhand [mm]|y+1|[/mm]. Das ist stets [mm]\ge 0[/mm]

Auf der rechten Seite hatten wir [mm]\tilde c\cdot{}e^{\frac{1}{2}x^2+x}[/mm]

Der Exponentialterm ist [mm]>0[/mm], damit alles [mm]\ge 0[/mm] bleibt, muss [mm]\tilde c[/mm] also [mm]\ge 0[/mm] sein.

Im nächsten Schritt hatte ich den Betrag linkerhand aufgelöst.

Durch das Umdefinieren der Konstante rechterhand habe ich mögliche negative linke Seiten aufgefangen ... ([mm]\hat c\in\IR[/mm])


> Danke!


LG

schachuzipus


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