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| Aufgabe | Angenommen [mm] P_{0}, P_{1}, [/mm] and [mm] P_{2} [/mm] sind in Intervall (a,b) stetige Funktionen und [mm] x_{0} [/mm] liegt in (a,b). Zeigen sie, dass wenn eine der beiden Aussagen wahr ist, für einige x in (a,b) gilt: [mm] P_{0(x)}=0.
[/mm]
(a) Das Anfangswertproblem
[mm] P_{0(x)}y''+P_{1(x)}y'+P_{2(x)}y=0,
[/mm]
[mm] y_{x_{0}}=k_{0}, [/mm]
[mm] y'_{x_{0}}=k_{1}
[/mm]
hat mehr als eine Lösung in (a,b).
(b) Das Anfangswertproblem
[mm] P_{0(x)}y''+P_{1(x)}y'+P_{2(x)}y=0,
[/mm]
[mm] y_{x_{0}}=0, [/mm]
[mm] y'_{x_{0}}=0
[/mm]
hat eine nicht triviale Lösung in (a,b). |
Hallo,
bräuchte Hilfe mit der Aufgabe oben. Das Problem ist, dass ich nicht mal weiß womit ich anfangen soll. Hoffe mir kann jemand Hilfestellung geben.
Gruß,
Bernd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:18 Di 03.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> Angenommen [mm]P_{0}, P_{1},[/mm] and [mm]P_{2}[/mm] sind in Intervall (a,b)
> stetige Funktionen und [mm]x_{0}[/mm] liegt in (a,b). Zeigen sie,
> dass wenn eine der beiden Aussagen wahr ist, für einige x
> in (a,b) gilt: [mm]P_{0(x)}=0.[/mm]
> (a) Das Anfangswertproblem
> [mm]P_{0(x)}y''+P_{1(x)}y'+P_{2(x)}y=0,[/mm]
> [mm]y_{x_{0}}=k_{0},[/mm]
> [mm]y'_{x_{0}}=k_{1}[/mm]
> hat mehr als eine Lösung in (a,b).
> (b) Das Anfangswertproblem
> [mm]P_{0(x)}y''+P_{1(x)}y'+P_{2(x)}y=0,[/mm]
> [mm]y_{x_{0}}=0,[/mm]
> [mm]y'_{x_{0}}=0[/mm]
> hat eine nicht triviale Lösung in (a,b).
> Hallo,
>
> bräuchte Hilfe mit der Aufgabe oben. Das Problem ist, dass
> ich nicht mal weiß womit ich anfangen soll. Hoffe mir kann
> jemand Hilfestellung geben.
>
> Gruß,
> Bernd
Du sollst zeigen, dass [mm] P_0 [/mm] in (a,b) Nullstellen hat. Nimm an, das wäre nicht so.
Dann kannst Du die DGL durch [mm] P_0 [/mm] dividieren und bekommst:
$y''+a(x)y'+b(x)y=0$
Nun sollstest Du wissen, dass das Anfangswertproblem (für jedeWahl von [mm] y_0 [/mm] und [mm] y_1)
[/mm]
$y''+a(x)y'+b(x)y=0$, [mm] y(x_0)=y_0, y'(x_0)=y_1
[/mm]
auf (a,b) genau eine Lösung hat.
FRED
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Danke FRED,
aber irgendwie versteh ich das immer noch nicht. Leider kann ich nicht mal genau beschreiben was mein Problem ist... Glaube mir fehlt da generelles Verständnis. DGLs lösen klappt eigentlich. Hast du oder jemand anders vielleicht noch ne Erklärung?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:03 Mi 04.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke FRED,
> aber irgendwie versteh ich das immer noch nicht. Leider
> kann ich nicht mal genau beschreiben was mein Problem
> ist... Glaube mir fehlt da generelles Verständnis. DGLs
> lösen klappt eigentlich. Hast du oder jemand anders
> vielleicht noch ne Erklärung?
Ist Dir schon mal aufgefallen, dass es in der Mathematik Sätze gibt ?
Beispiel:
Satz: Sind Ist I ein Intervall in [mm] \IR [/mm] und sind a,b:I [mm] \to \IR [/mm] stetig, so gelten die folgenden Aussagen:
(1) Die Menge
[mm] \{y:I \to \IR: y \quad loest \quad y''+a(x)y'+b(x)y=0 \} [/mm] ist ein reeller Vektorraum der Dimension 2.
(2) Sind $ [mm] y_0 [/mm] $ und $ [mm] y_1$ [/mm] reelle Zahlen, so hat das Anfangswertproblem
$ y''+a(x)y'+b(x)y=0 $, $ [mm] y(x_0)=y_0, y'(x_0)=y_1 [/mm] $
genau eine Lösung auf I.
fred
> Danke!
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