Differentialgleichung 1. Ordn. < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Fr 04.10.2013 | | Autor: | elmanuel |
Hallo liebe Gemeinde!
hätte da ne frage zum Anfangswertproblem
wenn ich gegeben hab y'(x)=f(x) und f(a)=b ... [mm] [f:I->\IR [/mm] , f stetig, a aus I und b aus f(I)], ist dann das anfangswertproblem im allgemeinen lösbar? wie sieht es nämlich aus wenn I eine vereinigung von reellen disjunkten intervallen ist?
wo könnte da das problem liegen mit der eindeutigkeit?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Fr 04.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. ich hab noch nie gesehen, dass so ein I in Wirklichkeit vorkommmt. Wenn der Anfangspkt in [mm] I_k [/mm] liegt kannst du dann natürlich das AWP nur innerhalb [mm] I_k [/mm] lösen.
Woher kommt die Frage denn? ausserhalb der I-k hast du ja gar keine definierte Dgl, also auch keine Lösung.
für stetige f dagegen hast du eine eindeutige Lösung, falls f ungleich 0
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:06 Sa 05.10.2013 | | Autor: | elmanuel |
danke!
nehmen wir an f ist stetig auf ganz I={(-1,1) U (2,3)}, y'(x)=f(x) und y(0)=0 .
dann könnte es ja auch die 0 funktion sein...
warum gibt es dann keine eindeutige lösung?
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> danke!
>
> nehmen wir an f ist stetig auf ganz I={(-1,1) U (2,3)},
> y'(x)=f(x) und y(0)=0 .
> dann könnte es ja auch die 0 funktion sein...
> warum gibt es dann keine eindeutige lösung?
Hallo elmanuel,
Aus der Angabe der auf ganz I (also auf den beiden
nicht zusammenhängenden Teilintervallen) stetigen
Funktion f und des Anfangswertes y(0) ist die
Funktion y(x) für das Teilintervall [mm] I_1=(-1...1)
[/mm]
eindeutig bestimmt (wenigstens in der Theorie -
praktische Durchführbarkeit mal außen vor gelassen).
Da die Funktion f auch auf [mm] I_2=(2...3) [/mm] stetig sein soll,
gibt es auch für dieses Teilintervall Stammfunktionen.
Die Existenz von Lösungen (also die "Lösbarkeit" des
AWP an sich) ist damit gewährleistet - allerdings eben
nicht die eindeutige Lösbarkeit, da eine Integra-
tionskonstante für das zweite Teilintervall natürlich
ganz unabhängig von der Integrationskonstante im
ersten Teilintervall gewählt werden könnte.
Wenn du also z.B. $\ [mm] y'(x)=f(x)\equiv [/mm] 0$ mit y(0)=0
nehmen willst, so sehen die Lösungsfunktionen
des AWP auf der gesamten Definitionsmenge I so aus:
$\ [mm] f_C(x)\,=\ \begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in\ (-1\,...\,+1) \\ C, & \mbox{für } x\in\ (2\,...\,3) \end{cases}$
[/mm]
Insgesamt hast du also eine Lösungsschar, abhängig
von dem beliebig wählbaren [mm] C\in\IR [/mm] .
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:18 Sa 05.10.2013 | | Autor: | elmanuel |
danke! jetzt hab ichs verstanden :)
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