Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 So 14.07.2013 | | Autor: | Marcel88 |
| Aufgabe | | Lösen Sie folgende Differentialgleichung: [mm] xy'-\bruch{y}{x+1}=x [/mm] ;y(0)=1 |
hey,
ich habe erstmal mit der homogenen Differentialgleichung gerechnet:
[mm] xy'-\bruch{y}{x+1}= [/mm] 0
komme da aber nicht wirklich weiter ist das der richtige Ansatz?
Viele Grüße
Marcel
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Hallo Marcel88,
> Lösen Sie folgende Differentialgleichung:
> [mm]xy'-\bruch{y}{x+1}=x[/mm] ;y(0)=1
> hey,
>
> ich habe erstmal mit der homogenen Differentialgleichung
> gerechnet:
>
> [mm]xy'-\bruch{y}{x+1}=[/mm] 0
>
> komme da aber nicht wirklich weiter ist das der richtige
> Ansatz?
>
Ja, das ist der richtige Ansatz.
>
> Viele Grüße
>
> Marcel
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 So 14.07.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Ja, das ist der richtige Ansatz.
Aber ist es auch die richtige Aufgabe ?
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 So 14.07.2013 | | Autor: | Marcel88 |
wenn ich die homogene Differentialgleichung dann bis zum Ende durchrechne komme ich auf y= [mm] \wurzel{\bruch{2}{3}x^{3}+x^{2}}+D [/mm] mit D = [mm] \wurzel{C}
[/mm]
ist das richtig?
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 So 14.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
durch differeenzieren und einsetzen kannst du leicht fesstellen dass das keine Lösung ist!
warum tust du das nicht statt zu posten?
Schreib deinen Lösungsweg auf, sonst können wir deinen Fehler nicht suchen.
aber mach bei jedem schritt die Probe!
Gruss leduart
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Hallo Marcel,
kurze schnelle Antwort: Nein, die homogene Lösung ist nicht korrekt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 So 14.07.2013 | | Autor: | Marcel88 |
hey,
wäre nett wenn mir jemand sagen könnte was ich falsch gemacht habe.
[Externes Bild http://img4web.com/view/J27U74]
Viele Grüße
Marcel
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Hallo Marcel88,
> hey,
>
> wäre nett wenn mir jemand sagen könnte was ich falsch
> gemacht habe.
>
Die Geichung
[mm]x*\left(x+1\right)=\bruch{y}{y'}[/mm]
stimmt noch.
Nach der Ersetzung von y' durch [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm]
mußt Du dafür sorgen, daß dy bzw. dx und der anschliessenden
Trennung der Variablen im Zähler stehen. Dann kannst Du beide
Seiten integrieren.
> [Externes Bild http://img4web.com/view/J27U74]
>
>
> Viele Grüße
>
> Marcel
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 So 14.07.2013 | | Autor: | Marcel88 |
hey,
aber das habe ich doch gemacht oder ?
[mm] x^{2}+x [/mm] dx = y dy
Viele Grüße
Marcel
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Hallo Marcel88,
> hey,
>
> aber das habe ich doch gemacht oder ?
>
>
> [mm]x^{2}+x[/mm] dx = y dy
>
Das ist nicht richtig.
Ausgehend von der Gleichung
[mm]x*\left(x+1\right)=\bruch{y}{y'}[/mm]
steht zunächst da:
[mm]x*\left(x+1\right)*\bruch{1}{dx}=\bruch{y}{dy}[/mm]
Hier steht das dx bzw. dy noch im Nenner.
Richtig hingegen ist:
[mm]\bruch{dx}{x*\left(x+1\right)}=\bruch{dy}{y}[/mm]
Jetzt kannst Du auf beiden Seiten integrieren.
>
> Viele Grüße
>
> Marcel
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 So 14.07.2013 | | Autor: | Marcel88 |
hey,
die Lösung der homogenen Differentialgleichung lautet somit:
y = [mm] \bruch{x}{x+1} [/mm] +c
Viele Grüße
Marcel
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Hallo,
> hey,
>
> die Lösung der homogenen Differentialgleichung lautet
> somit:
>
> y = [mm]\bruch{x}{x+1}[/mm] +c
Nein, sondern:
[mm] y=c\frac{x}{x+1}
[/mm]
>
> Viele Grüße
>
> Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 So 14.07.2013 | | Autor: | Marcel88 |
hey,
> Hallo,
>
> > hey,
> >
> > die Lösung der homogenen Differentialgleichung lautet
> > somit:
> >
> > y = [mm]\bruch{x}{x+1}[/mm] +c
> Nein, sondern:
> [mm]y=c\frac{x}{x+1}[/mm]
>
aber wieso denn mal c das versteh ich nicht ganz.
Viele Grüße
Marcel
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Hey ho,
warum mal c ?
Das hat zwei Gründe:
1) ansonsten erfüllt die Lösung nun einmal nicht die homogene DGL
2) das ergibt sich nun einmal aus der Integration von
$ [mm] \bruch{dx}{x\cdot{}\left(x+1\right)}=\bruch{dy}{y} [/mm] $
Integriere doch mal, dann hast du ja Ausdrücke der Form:
$ln(...)-ln(...)+c=ln|y|$
nun kannst du aber auch c ersetzen durch [mm] c=ln(c_2). [/mm] Durch Anwendung von logarithmengesetzen erhältst du dann die Lösung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Mo 15.07.2013 | | Autor: | Marcel88 |
hey,
Die Lösung der homogenen Gleichung lautet:
[mm] y=\bruch{x}{x+1}*c
[/mm]
wie mache ich nun weiter ich hätte jetzt die Ableitung gebildet
wobei ich mir da nicht sicher bin ob das so der richtige Weg ist, denn durch Variation der Konstanten würde ich ja folgendes erhalten:
[mm] y=\bruch{x}{x+1}*c(x)
[/mm]
[mm] y'=\bruch{1}{(x+1)^{2}}*c'(x)+c(x)*\bruch{x}{x+1}
[/mm]
das kommt mir ein bisschen kompliziert vor, vorallem wenn ich das jetzt wieder in die Ausgangsgleichung einsetze.
Mache ich irgendwas falsch?
Viele Grüße
Marcel
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Hallo,
sorry erstmal, dass es so lange gedauert hat, aber es kam ein wichtiges Kundentelefonat rein.
> hey,
>
> Die Lösung der homogenen Gleichung lautet:
>
> [mm]y=\bruch{x}{x+1}*c[/mm]
>
Ja, das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wie mache ich nun weiter ich hätte jetzt die Ableitung
> gebildet
>
> wobei ich mir da nicht sicher bin ob das so der richtige
> Weg ist, denn durch Variation der Konstanten würde ich ja
> folgendes erhalten:
>
> [mm]y=\bruch{x}{x+1}*c(x)[/mm]
>
> [mm]y'=\bruch{1}{(x+1)^{2}}*c'(x)+c(x)*\bruch{x}{x+1}[/mm]
>
>
> das kommt mir ein bisschen kompliziert vor, vorallem wenn
> ich das jetzt wieder in die Ausgangsgleichung einsetze.
>
> Mache ich irgendwas falsch?
Die Idee mit der Variation der Konstanten ist schon richtig. Beim Ableiten ist dir jedoch beim Anwenden der Produktregel ein ziemlich dicker Schitzer unterlaufen. Prüfe die Ableitung nochmal und gehe dann damit in die DGL ein, das entstehende Integral ist dann sehr einfach!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Mo 15.07.2013 | | Autor: | Marcel88 |
hey,
ich komme dann auf [mm] c'(x)=1+\bruch{1}/{x}
[/mm]
was für c(x)= x+ln(x)+D ergibt
so setze ich das nun in ide Ausgangsgleichung erhalte ich :
[mm] y=\bruch{x^{2}+x*ln(x)+x*D}{x+1}
[/mm]
da ich noch D bestimmen muss setze ich nun x = 0 und y = 1 wie im Aufgabentext beschrieben, habe aber folgendes Problem, der ln(0) ist nicht definiert.
Viele Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:53 Mo 15.07.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
jetzt sind wir schon zwei.
Gruß Sax.
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Hallo Marcel,
> hey,
>
> ich komme dann auf [mm]c'(x)=1+\bruch{1}/{x}[/mm]
>
> was für c(x)= x+ln(x)+D ergibt
Da du nur eine spezielle Lösung brauchst, kannst du [mm]D=0[/mm] wählen.
>
> so setze ich das nun in ide Ausgangsgleichung
??
> erhalte ich
> :
>
>
> [mm]y=\bruch{x^{2}+x*ln(x)+x*D}{x+1}[/mm]
Das ist die richtige Lösung, die sich aber aus der Summe der allg. Lösung der zugeh. homogenen Dgl. und der einen partik. Lösung ergibt
[mm]y=\red{y_{hom}}+\blue{y_{part}}=\red{c\cdot{}\frac{x}{x+1}}+\blue{\left((x+\ln(x))\cdot{}\frac{x}{x+1}\right)}[/mm]
>
>
> da ich noch D bestimmen muss setze ich nun x = 0 und y = 1
> wie im Aufgabentext beschrieben, habe aber folgendes
> Problem, der ln(0) ist nicht definiert.
Jo, die Anfangsbedingung passt wie schon erwähnt nicht zur Aufgabe ...
Steht da vllt. [mm]y(1)=0[/mm] ??
>
>
>
> Viele Grüße
>
> Marcel
>
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Mo 15.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie folgende Differentialgleichung:
> [mm]xy'-\bruch{y}{x+1}=x[/mm] ;y(0)=1
Dieses Anfangswertproblem ist nicht lösbar !
Wenn wir annehmem, dass es ein Intervall I mit 0 [mm] \in [/mm] I und eine Lösung y:I [mm] \to \IR [/mm] gibt, so folgt aus [mm]xy'-\bruch{y}{x+1}=x[/mm] mit x=0:
[mm] $0*y'(0)-\bruch{y(0)}{0+1}=0$,
[/mm]
also 1=0.
FRED
> hey,
>
> ich habe erstmal mit der homogenen Differentialgleichung
> gerechnet:
>
> [mm]xy'-\bruch{y}{x+1}=[/mm] 0
>
> komme da aber nicht wirklich weiter ist das der richtige
> Ansatz?
>
>
> Viele Grüße
>
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 Mo 15.07.2013 | | Autor: | Marcel88 |
hey,
vielen Dank für die super Hilfe und die Mühe die ihr euch alle gemacht habt.
Nur zur Vollständigkeit ich habe die Aufgabenstellung nochmal nachgeschaut aber sie ist 1 zu 1 übernommen.
Daher scheint dem Autor der Aufgabe wohl ein Fehler unterlaufen zu sein.
Viele Grüße
Marcel
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