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| Aufgabe | Sei M [mm] \subseteq \mathbb{R}. f,\,g:\,M \to \mathbb{R} [/mm] seien differenzierbare Funktionen,
und g(x) [mm] \,>\, [/mm] 0 für alle [mm] x\in [/mm] M.
Finden Sie die Lösung für:
[mm] \left(\frac{\big(f(x)\big)^{n}}{\sqrt{g(x)}}\right)'\, [/mm] |
Hallo.
Ich soll die o.g Aufgabe berechnen.
Ein kleines Problem sind für mich die Ausdrücke [mm] (f(x))^n [/mm] und [mm] \wurzel{g(x)}
[/mm]
Ich gehe davon aus, dass beide Funktionen einer Verkettung zu Grunde liegen.
f(x)=f(x)
[mm] t(y)=y^n
[/mm]
-> y=f(x)
t(f(x))= [mm] (t\circ{f})(x)
[/mm]
g(x)=g(x)
[mm] q(z)=\wurzel{z}
[/mm]
z=g(x)
q(g(x))= [mm] (q\circ{g})(x)
[/mm]
[mm] ((f(x))^n)' [/mm] = [mm] (n*f(x))^{n-1} [/mm] * f'(x)
[mm] (\wurzel{g(x)})‘= \bruch{1}{2}*g(x)^{-\bruch{1}{2}}*g'(x)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{g(x)}}*g'{x}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Grüße und danke im Voraus.
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Hallo Masseltof,
> Sei M [mm]\subseteq \mathbb{R}. f,\,g:\,M \to \mathbb{R}[/mm] seien
> differenzierbare Funktionen,
>
> und g(x) [mm]\,>\,[/mm] 0 für alle [mm]x\in[/mm] M.
>
> Finden Sie die Lösung für:
> [mm]\left(\frac{\big(f(x)\big)^{n}}{\sqrt{g(x)}}\right)'\,[/mm]
>
> Hallo.
>
> Ich soll die o.g Aufgabe berechnen.
>
> Ein kleines Problem sind für mich die Ausdrücke [mm](f(x))^n[/mm]
> und [mm]\wurzel{g(x)}[/mm]
>
> Ich gehe davon aus, dass beide Funktionen einer Verkettung
> zu Grunde liegen.
>
> f(x)=f(x)
> [mm]t(y)=y^n[/mm]
> -> y=f(x)
>
> t(f(x))= [mm](t\circ{f})(x)[/mm]
>
> g(x)=g(x)
> [mm]q(z)=\wurzel{z}[/mm]
> z=g(x)
>
> q(g(x))= [mm](q\circ{g})(x)[/mm]
>
> [mm]((f(x))^n)'[/mm] = [mm](n*f(x))^{n-1}[/mm] * f'(x)
Fast, da stimmt nur die Klammerung nicht, besser: [mm]n\cdot{}\left(f(x)\right)^{n-1}\cdot{}f'(x)[/mm]
>
> [mm](\wurzel{g(x)})‘= \bruch{1}{2}*g(x)^{-\bruch{1}{2}}*g'(x)[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{g(x)}}*g'{x}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ist das soweit richtig?
Ja, nun alles gem. Quotientenregel zusammenschustern
>
> Grüße und danke im Voraus.
LG
schachuzipus
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Hallo und danke für die Antwort.
So habe ich dann weiter gerechnet:
[mm] \bruch{v(x)}{g(x)}=\bruch{v'{x}*g(x)-v(x)*g'(x)}{g(x)^2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \bruch{n*(f(x))^{n-1}*f'(x)*\wurzel{g(x)}-(f(x))^n*\bruch{1}{2\wurzel{g(x)}}}{\wurzel{g(x)}^2}
[/mm]
$ [mm] =\bruch{n\cdot{}(f(x))^{n-1}\cdot{}f'(x)\cdot{}\wurzel{g(x)}-(f(x))^n\cdot{}\bruch{1}{2\wurzel{g(x)}}}{g(x)} [/mm] $
Ist das so richtig?
Kann man das noch irgendwie kürzen?
Viele Grüße und danke im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Mo 06.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. ist ein g' verlorengegangen, was im vorigen post noch stand.
2. doppelbrüche löst man immer auf, also erweitere mit [mm] \wurzel{g(x)}
[/mm]
Gruss leduart
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Hallo und danke für die schnelle Antwort.
Ist mir gerade auch aufgefallen mit dem g.
Statt:
$ [mm] =\bruch{n\cdot{}(f(x))^{n-1}\cdot{}f'(x)\cdot{}\wurzel{g(x)}-(f(x))^n\cdot{}\bruch{1}{2\wurzel{g(x)}}}{g(x)} [/mm] $
Sollte hier stehen:
$ [mm] =\bruch{n\cdot{}(f(x))^{n-1}\cdot{}f'(x)\cdot{}\wurzel{g(x)}-(f(x))^n\cdot{}\bruch{1}{2\wurzel{g(x)}}*g'(x)}{\wurzel(g(x))^2} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{n\cdot{}(f(x))^{n-1}\cdot{}f'(x)\cdot{}\wurzel{g(x)}-(f(x))^n\cdot{}\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1\wurzel{g(x)}}*g'(x)}{g(x)} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{n\cdot{}(f(x))^{n-1}\cdot{}f'(x)\cdot{}{g(x)}-(f(x))^n\cdot{}\bruch{1}{2}*g'(x)}{g(x)*\wurzel{g(x)}} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{n\cdot{}(f(x))^{n-1}\cdot{}f'(x)\cdot{}{g(x)}-(f(x))^n\cdot{}\bruch{1}{2}*g'(x)}{\wurzel{g(x)}^3} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{2*n\cdot{}(f(x))^{n-1}\cdot{}f'(x)\cdot{}{g(x)}-(f(x))^n*g'(x)}{2*\wurzel{g(x)}^3} [/mm] $
Ich glaube so ist es richtig?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Mo 06.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Es stimmt
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Masseltof!
Deine aktuellen Aufgaben haben nichts mit Differentialgleichungen zu tun.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Masseltof |
Hallo.
Mist, das tut mir Leid :/
In welches Unterforum könnte ich sie denn posten?
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Na sieh mal, wo Deine Fragen nunmehr gelandet sind.
Gruß
Loddar
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