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Hallo Zusammen! Ich sitze gearde bei einem Bsp:
y'' - y = - [mm] \bruch{1}{1+e^{x}}
[/mm]
zu lösen mit varation der konstanten
ich habe das gerechnete bsp vor mir liegen aber ich habe folgendes problem:
Homogene Lösung ist einfach : yh= c1 * [mm] e^{x} [/mm] + c2 * [mm] e^{-x}
[/mm]
für die partikuläre hat er dann 2 gleichungen angeschrieben
1) c1'(x) * [mm] e^{x} [/mm] + c2'(x) * [mm] e^{-x} [/mm] = 0
2) c1'(x) * [mm] e^{x} [/mm] - c2'(x) * [mm] e^{-x} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{1+e^{x}}
[/mm]
doch wie kommt er auf diese 2 gleichungen???
Die zu lösen stellt dann kein Problem mehr.
Vielen Danke im Voraus und hoffe auf schnelle Hilfe!! MGF
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Hallo,
> y'' - y = - [mm]\bruch{1}{1+e^{x}}[/mm]
>
> zu lösen mit varation der konstanten
>
Um die Methode der Variation der Konstanten anwenden zu können, muß die DGL auf eine DGL 1. Ordnung zurückgeführt werden.
> ich habe das gerechnete bsp vor mir liegen aber ich habe
> folgendes problem:
>
> Homogene Lösung ist einfach : yh= c1 * [mm]e^{x}[/mm] + c2 * [mm]e^{-x}[/mm]
>
> für die partikuläre hat er dann 2 gleichungen
> angeschrieben
>
> 1) c1'(x) * [mm]e^{x}[/mm] + c2'(x) * [mm]e^{-x}[/mm] = 0
>
> 2) c1'(x) * [mm]e^{x}[/mm] - c2'(x) * [mm]e^{-x}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{1+e^{x}}[/mm]
>
> doch wie kommt er auf diese 2 gleichungen???
er hat das oben angegebene Beispiel auf ein System 1. Ordnung zurückgeführt.
Setzt man
[mm]\begin{gathered}
y_{1} \; = \;y \hfill \\
y_{2} \; = \;y' \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Dann wird die DGL 2. Ordnung in ein System 1. Ordnung überführt:
[mm]\begin{gathered}
y_{1}^{'} \; = \;y_{2} \hfill \\
y_{2 }^{'} \; = \;y_{1} \; - \frac{1}
{{1\; + \;e^{x} }} \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
Oder in Matrix-Schreibweise:
[mm]\left( {\begin{array}{*{20}c}
{y_{1} } \\
{y_{2} } \\
\end{array} } \right)^{'} \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{array} } \right)\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{y_{1} } \\
{y_{2} } \\
\end{array} } \right)\; + \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
{ - \frac{1}
{{1\; + \;e^x }}} \\
\end{array} } \right)[/mm]
Nun wird zuerst das homogene System gelöst:
[mm]\left( {\begin{array}{*{20}c}
{y_{1} } \\
{y_{2} } \\
\end{array} } \right)^{'} \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{array} } \right)\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{y_{1} } \\
{y_{2} } \\
\end{array} } \right)[/mm]
Diese hat als Lösung
[mm]
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{y_{1} } \\
{y_{2} } \\
\end{array} } \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{c_{1} \;e^x \; + \;c_{2} \;e^{ - x} } \\
{c_{1} \;e^x \; - \;c_{2} \;e^{ - x} } \\
\end{array} } \right)[/mm]
Nun kann die Methode der Variation der Konstanten angewandt werden:
[mm]
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{y_{1} } \\
{y_{2} } \\
\end{array} } \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{c_{1} \left( x \right)\;e^{x} \; + \;c_{2} \left( x \right)\;e^{ - x} } \\
{c_{1} \left( x \right)\;e^{x} \; - \;c_{2} \left( x \right)\;e^{ - x} } \\
\end{array} } \right)[/mm]
Nun wird der Ansatz in das System 1. Ordnung eingesetzt, dann erhält man die besagten Gleichungen.
Gruß
MathePower
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