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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Mi 09.06.2010 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | Lösen Sie die Differentialgleichungen:
1) [mm] 1+y^2+xyy'=0
[/mm]
2) [mm] xy(1+x^2)y'=1+y^2 [/mm] |
Hallo,
beides habe ich zunächst umgeformt nach y':
1) [mm] y'=-\bruch{y}{x}-\bruch{1}{xy}
[/mm]
2) [mm] y'=\bruch{1+y^2}{xy+x^3y}
[/mm]
Nun habe ich bei beiden keine getrennten Variablen vorliegen, kann also zunächst nichts tun. Gehört habe ich von 2 Formen der Substitution: f(ax+by+c)=f(z) und [mm] f(\bruch{y}{x})= [/mm] f(z).
Nun sieht 1) so aus, als könnte man da etwas mit der 2.Substitution machen, aber ich bin mir nicht sicher- weiß auch nicht, wie man das dann anwendet...Wär sehr dankbar über jede Hilfe!
Beste Grüße
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Hallo,
> Lösen Sie die Differentialgleichungen:
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> 1) [mm]1+y^2+xyy'=0[/mm]
> 2) [mm]xy(1+x^2)y'=1+y^2[/mm]
> Hallo,
>
> beides habe ich zunächst umgeformt nach y':
> 1) [mm]y'=-\bruch{y}{x}-\bruch{1}{xy}[/mm]
> 2) [mm]y'=\bruch{1+y^2}{xy+x^3y}[/mm]
>
> Nun habe ich bei beiden keine getrennten Variablen
> vorliegen, kann also zunächst nichts tun. Gehört habe ich
> von 2 Formen der Substitution: f(ax+by+c)=f(z) und
> [mm]f(\bruch{y}{x})=[/mm] f(z).
>
> Nun sieht 1) so aus, als könnte man da etwas mit der
> 2.Substitution machen, aber ich bin mir nicht sicher- weiß
> auch nicht, wie man das dann anwendet...Wär sehr dankbar
> über jede Hilfe!
>
> Beste Grüße
1) [mm]1+y^2+xyy'=0[/mm]
[mm] 1+y^2=-xyy'
[/mm]
[mm] $1+y^2=-xy [/mm] \ [mm] \bruch{dy}{dx}$
[/mm]
[mm] $-\int\bruch{1}{x} [/mm] \ [mm] dx=\int\bruch{y}{1+y^2} [/mm] \ dy$
2) [mm]xy(1+x^2)y'=1+y^2[/mm]
[mm]xy(1+x^2) \ \bruch{dy}{dx}=1+y^2[/mm]
[mm] $\int \bruch{y}{1+y^2} [/mm] \ dy [mm] =\int \bruch{1}{x(1+x^2)} [/mm] \ dx$
Kannst Du alleine weiter?
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Mi 09.06.2010 | | Autor: | gigi |
um ehrlich zu sein: wir haben solche aufgaben noch nie gerechnet und ich habe eben auch nur 1 beispiel, in welchem obige substitution verwendet wurde. also würde es mir wirklich helfen, wenn du mal laut denken könntest!
wie genau gehst du vor? was versuchst du, was ist dein ziel?
ich erkenne folgendes: 1) x und y jeweils auf eine seite bringen
2) y' durch [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] ersetzen 3) integrieren
für mich ist nun das problem 4) wie integriere ich!?
Wie geht man zB bei [mm] \bruch{y}{1+y^2} [/mm] vor? eine PBZ? welches handwerkszeug besitzt man außerdem?
Herzlichen Dank schon einmal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Do 10.06.2010 | | Autor: | gigi |
zunächst einmal besten dank für alles!
> >
> > Wie geht man zB bei [mm]\bruch{y}{1+y^2}[/mm] vor?
>
>
>
> Das sieht mir nach einem Logarithmus naturalis aus.
>
aber so "einfach" und "direkt" lässt sich das doch nicht integrieren, oder!? im tafelwerk habe ich gefunden: [mm] \integral {\bruch{y}{1+y^2}dy}= [/mm] 0,5 ln [mm] (y^2+1). [/mm] ich würde aber gern wissen, wie ich da rechnerisch drauf komme- habe es mit partieller integration versucht, was zu einem komplizierten ausdruck führt...
> eine PBZ?
>
>
> Ja - bei der 2. Aufgabe.
>
>
>
ansonsten komm ich klar denk ich, danke!
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Hallo gigi,
> zunächst einmal besten dank für alles!
> > >
> > > Wie geht man zB bei [mm]\bruch{y}{1+y^2}[/mm] vor?
> >
> >
> >
> > Das sieht mir nach einem Logarithmus naturalis aus.
> >
>
> aber so "einfach" und "direkt" lässt sich das doch nicht
> integrieren, oder!? im tafelwerk habe ich gefunden:
> [mm]\integral {\bruch{y}{1+y^2}dy}=[/mm] 0,5 ln [mm](y^2+1).[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ich würde
> aber gern wissen, wie ich da rechnerisch drauf komme- habe
> es mit partieller integration versucht, was zu einem
> komplizierten ausdruck führt...
Das lässt sich sehr bequem über eine Substitution lösen.
Es ist $\int{\frac{y}{1+y^2} \ dy}=\frac{1}{2}\int{\frac{2y}{1+y^2} \ dy}$
Und das ist ein sog. logarithmisches Integral (sollte aus der Schule noch bekannt sein).
Also eines der Bauart $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$
Und das hat bekanntlich als Stammfunktion $\ln(|f(x)|)+C$
Das kann man einsehen, indem man (im allg. Fall, also für $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$) substituiert: $z(x)=\blue{z:=f(x)}$
Dann ist $z'(x)=\frac{dz}{dx}=f'(x)$, also $\red{dx=\frac{dz}{f'(x)}$
Damit $\int{\frac{f'(x)}{\blue{f(x)}} \ \red{dx}}=\int{\frac{f'(x)}{\blue{z}} \ \red{\frac{dz}{f'(x)}}=\int{\frac{1}{z} \ dz}=\ln(|z|)+C=\ln(|f(x)|)+C$
Das kannst du nun allg. verwenden oder es für dein Bsp. nochmal konkret nachrechnen.
Erweitere wie oben gemacht mit 2 und substituiere was? ...
>
> ansonsten komm ich klar denk ich, danke!
Das klingt gut! 
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:22 Fr 11.06.2010 | | Autor: | gigi |
nein, in der schule hatte ich soetwas nicht- aber besser jetzt als nie :)
besten dank, ich bin begeistert!
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