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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Helix |
| Aufgabe | Aufgabenstellung: Lösen sie die DGL:
[mm]\bruch{y'}{ay}= 1-y[/mm] mit folgender Zusatzangabe: y(0)=1/2
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Hallo, das ist hier mein erster Artilkel, deshalb erbitte ich etwas nachsicht.
Zur Aufgabe:
Jetzt würde ich gerne wissen, was die Zusatzangabe zu bedeuten oder wie ich sie zum lösen der Aufgabe verwenden soll. Natürlich weiß ich, dass damit gemeint ist, an der Stelle y=0 ist der Wert 1/2, aber was soll mir das bringen?
Ebenfalls komme ich mit der DGL nicht zurecht, hatte es mit Trennung der Variablen versucht, komme da aber nicht weiter.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Aufgabenstellung: Lösen sie die DGL:
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> [mm]\bruch{y'}{ay}= 1-y[/mm] mit folgender Zusatzangabe: y(0)=1/2
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> Hallo, das ist hier mein erster Artilkel, deshalb erbitte
> ich etwas nachsicht.
Na, dann zuerst mal ein freundliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zur Aufgabe:
> Jetzt würde ich gerne wissen, was die Zusatzangabe zu
> bedeuten oder wie ich sie zum lösen der Aufgabe verwenden
> soll. Natürlich weiß ich, dass damit gemeint ist, an der
> Stelle y=0 ist der Wert 1/2, aber was soll mir das
> bringen?
Diese "Zusatzangabe" ist eine sogenannte Anfangsbedingung,
die ermöglichen wird, aus einer zunächst unendlichen Schar
von möglichen Lösungskurven der allgemeinen DGL eine
ganz bestimmte "herauszupicken". Der (analytische) Lösungsweg
ist also der, dass man zuerst versucht einen Ausdruck zu finden,
der die allg. DGL erfüllt. Im zweiten Schritt wird mittels der
Anfangsbedingung der konkrete Wert einer Integrationskonstanten
festgelegt.
> Ebenfalls komme ich mit der DGL nicht zurecht, hatte es mit
> Trennung der Variablen versucht, komme da aber nicht
> weiter.
Ich habe nur einen kleinen Anfang versucht und meine, dass der
funktionieren sollte. Die Idee ist, zuerst nicht die Funktion y=f(x),
sondern eine Umkehrfunktion g zu finden, so dass x=g(y).
Wenn man
$\ [mm] f'(x)=\frac{dy}{dx}$ [/mm] und $\ [mm] g'(y)=\frac{dx}{dy}$
[/mm]
schreibt, so sind diese Ableitungen zueinander reziprok. So kommt
man auf die Gleichung
$\ [mm] g'(y)=\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}=\frac{1}{a}*\frac{1}{y*(1-y)}$
[/mm]
Den letzten Bruch kann man in eine Summe von Partialbrüchen
zerlegen, die man dann einfach integrieren kann.
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Do 25.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Al:
Trennung der Variablen funktioniert hier wunderbar !
Rechne mal vor.
Zur Kontrolle: die Lösung des Anfangswertproblems lautet:
$y(x) = [mm] \bruch{e^{ax}}{1+e^{ax}}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Sa 03.04.2010 | | Autor: | Helix |
Ok, habe jetzt mit Trennung der Variablen doch die Aufgabe lösen können, hoffe, es ist richtig:
Meine Lösung:
[mm]\bruch{1}{a} \integral_{}^{}{\bruch{1}{y-y^{2}}} dy= \integral_{}^{}{dx} [/mm]
[mm]\bruch{1}{a} \integral_{}^{}{\bruch{1}{y-y^{2}}} dy= x + c [/mm]
Jetzt mit Partialbruchzerlegung den linken Teil, dazu habe ich das Minus vor das Integral gezogen:
[mm]-\bruch{1}{a} \integral_{}^{}{\bruch{1}{y^{2}-y}} dy[/mm]
Dann habe ich die Nullstellen bestimmt, das ist die 2 und die Null. Jetzt war ich mir nicht sicher, was ich bei der Null machen soll, habe einfach y genommen. Ist das richtig?
Habe es als Nebenrechnung gemacht, deshalb das fehlen des Integralzeichen:
[mm]{\bruch{1}{y^{2}-y}} =\bruch{A}{y} + \bruch{B}{y-1} [/mm]
Damit habe ich dann duch Koeffizientenvergleich A= -1 und (A+B)y=0,
also zum Schluss A=-1 und B= -(-1)= 1.
Wieder eingesetzt:
[mm]-\bruch{1}{a} (-1\integral_{}^{}{\bruch{1}{y}} dy +\integral_{}^{}{\bruch{1}{y-1}} dy)= x + c[/mm]
jetzt integriert:
[mm]\bruch{1}{a} *ln(y) +C1 -\bruch{1}{a} *ln(y-1) + C2= x + C3[/mm]
logarithmengesetze angewandt:
[mm]\bruch{1}{a} ln\left( \bruch{y}{y-1} \right) +C1 + C2= x + C3[/mm]
Jetzt die Cs zusammengefasst und e hoch Funktion genommen
[mm]\left( \bruch{y}{y-1} \right) = e^{ax + aC}[/mm]
Tja, und jetzt komme ich nicht mehr weiter.
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Hallo Helix,
> Ok, habe jetzt mit Trennung der Variablen doch die Aufgabe
> lösen können, hoffe, es ist richtig:
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> Meine Lösung:
> [mm]\bruch{1}{a} \integral_{}^{}{\bruch{1}{y-y^{2}}} dy= \integral_{}^{}{dx}[/mm]
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> [mm]\bruch{1}{a} \integral_{}^{}{\bruch{1}{y-y^{2}}} dy= x + c[/mm]
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> Jetzt mit Partialbruchzerlegung den linken Teil, dazu habe
> ich das Minus vor das Integral gezogen:
> [mm]-\bruch{1}{a} \integral_{}^{}{\bruch{1}{y^{2}-y}} dy[/mm]
>
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> Dann habe ich die Nullstellen bestimmt, das ist die 2 und
> die Null. Jetzt war ich mir nicht sicher, was ich bei der
> Null machen soll, habe einfach y genommen. Ist das
> richtig?
> Habe es als Nebenrechnung gemacht, deshalb das fehlen des
> Integralzeichen:
> [mm]{\bruch{1}{y^{2}-y}} =\bruch{A}{y} + \bruch{B}{y-1}[/mm]
>
> Damit habe ich dann duch Koeffizientenvergleich A= -1 und
> (A+B)y=0,
> also zum Schluss A=-1 und B= -(-1)= 1.
>
> Wieder eingesetzt:
> [mm]-\bruch{1}{a} (-1\integral_{}^{}{\bruch{1}{y}} dy +\integral_{}^{}{\bruch{1}{y-1}} dy)= x + c[/mm]
>
> jetzt integriert:
>
> [mm]\bruch{1}{a} *ln(y) +C1 -\bruch{1}{a} *ln(y-1) + C2= x + C3[/mm]
>
> logarithmengesetze angewandt:
>
> [mm]\bruch{1}{a} ln\left( \bruch{y}{y-1} \right) +C1 + C2= x + C3[/mm]
>
> Jetzt die Cs zusammengefasst und e hoch Funktion genommen
> [mm]\left( \bruch{y}{y-1} \right) = e^{ax + aC}[/mm]
Löse jetzt nach y auf, in dem Du zuerst mit y-1 multiplizierst,
und dann alles, was mit y zu tun hat, auf eine Seite bringst.
>
> Tja, und jetzt komme ich nicht mehr weiter.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Sa 03.04.2010 | | Autor: | Helix |
Ok, also:
$ [mm] \left( \bruch{y}{y-1} \right) [/mm] = [mm] e^{ax + aC} [/mm] $
$ {y} = [mm] ye^{ax + aC} -e^{ax + aC}$
[/mm]
$ {y} - [mm] ye^{ax + aC} [/mm] = [mm] -e^{ax + aC}$
[/mm]
dann ausklammern:
$ y({1} - [mm] e^{ax + aC}) [/mm] = [mm] -e^{ax + aC}$
[/mm]
$ y= [mm] \left( \bruch{-e^{ax + aC}}{{1} - e^{ax + aC}} \right) [/mm] $
So, und das ist jetzt die allgemeine Lösung, oder muss ich noch irgendwas beachten. Danke schon mal :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Sa 03.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Helix!
> [mm]y= \left( \bruch{-e^{ax + aC}}{{1} - e^{ax + aC}} \right) [/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Wenn Du magst, kannst Du hier noch mit $(-1)_$ erweitern.
> So, und das ist jetzt die allgemeine Lösung, oder muss ich
> noch irgendwas beachten. Danke schon mal :)
Nun den gegebenen Anfangswert einsetzen und das $C_$ bestimmen:
$$y(0) \ = \ [mm] \bruch{e^{a*0 + aC}}{ e^{a*0 + aC}-1} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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