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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:16 Mi 18.02.2009 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Man bestimme die Lösung der folgenden Differentialgleichung
y' = [mm] \bruch{y^2/x^2}{1+(y/x)} [/mm] |
Hi zusammen,
meine Idee zu der Aufgabe war, dass ich versuche über eine Substitution an die Lösung zu kommen was für mich dann doch kniffliger war als gedacht.
Hier mal mein Lösungsweg:
Es sei z = y/x [mm] \gdw [/mm] y = x * z [mm] \Rightarrow [/mm] y' = z + x*z'
Nun habe ich gleichgesetzt:
z + x*z'= [mm] \bruch{z^2}{1+z}
[/mm]
Umformen ergibt:
(z + x*z') * (1+z) = [mm] z^2
[/mm]
Ausmultiplizieren und zusammenfassen:
z + z*z + x*z' + x*z'*z = [mm] z^2
[/mm]
z + xz' + x*z*z' = 0
z'*x(1 + z) = - z
Nun is z' ja dz/dx
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] * x = [mm] \bruch{-z}{1+z}
[/mm]
[mm] \bruch{-1-z}{z}dz [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] dx
Nun integrieren ergibt
-ln(z)-z = ln(x)
ln(z)+z = - ln(x)
Und ab dem Punkt hapert es bei mir. Wenn ich nun Rücksubstituire komme ich nicht auf y = ... sondern drehe mich im Kreis.
Vielleicht ist bei der Rechnung grundsätzlich etwas falsch.
Vielen Dank im Voraus schonmal für die Hilfe.
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> Man bestimme die Lösung der folgenden
> Differentialgleichung
>
> y' = [mm]\bruch{y^2/x^2}{1+(y/x)}[/mm]
> Hi zusammen,
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> meine Idee zu der Aufgabe war, dass ich versuche über eine
> Substitution an die Lösung zu kommen was für mich dann doch
> kniffliger war als gedacht.
>
> Hier mal mein Lösungsweg:
>
> Es sei z = y/x [mm]\gdw[/mm] y = x * z [mm]\Rightarrow[/mm] y' = z + x*z'
>
> Nun habe ich gleichgesetzt:
>
> z + x*z'= [mm]\bruch{z^2}{1+z}[/mm]
>
> Umformen ergibt:
>
> (z + x*z') * (1+z) = [mm]z^2[/mm]
>
> Ausmultiplizieren und zusammenfassen:
>
> z + z*z + x*z' + x*z'*z = [mm]z^2[/mm]
>
> z + xz' + x*z*z' = 0
>
> z'*x(1 + z) = - z
>
> Nun is z' ja dz/dx
>
> [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] * x = [mm]\bruch{-z}{1+z}[/mm]
>
> [mm]\bruch{-1-z}{z}dz[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] dx
>
> Nun integrieren ergibt
>
> -ln(z)-z = ln(x)
>
> ln(z)+z = - ln(x)
>
> Und ab dem Punkt hapert es bei mir. Wenn ich nun
> Rücksubstituire komme ich nicht auf y = ... sondern drehe
> mich im Kreis.
Ich musste zweimal nachrechnen, aber so weit scheint
mir alles in Ordnung zu sein. An dieser Stelle ist es auch
am Platz, eine Integrationskonstante einzuführen, also
haben wir:
$\ ln(x)+ln(z)=C-z$
Nun z wieder durch [mm] \bruch{y}{x} [/mm] ersetzen:
[mm] ln(x)+ln\left(\bruch{y}{x}\right)=C-\bruch{y}{x}
[/mm]
Logarithmengesetz:
[mm] ln(y)=C-\bruch{y}{x}
[/mm]
Dies kann man zwar nicht auf die Form $\ y=y(x)$ bringen,
jedoch sehr wohl auf die Form:
[mm] x=x(y)=\bruch{y}{C-ln(y)}
[/mm]
Gruß Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:26 Mi 18.02.2009 | | Autor: | meep |
Vielen Dank,
hab gedacht ich hätte mich evtl. verrechnet weil ich nicht auf die Form y = y(x) gekommen bin.
Aber schien ja doch alles in Ordnung gewesen zu sein :)
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