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| Aufgabe | Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
[mm] 35y-12y'+y''=70x²+57x-275e^{2x}cos(8x)+94e^{2x}sin(8x)+38
[/mm]
Alle Zwischenschritte sind anzugeben. |
Ich weiß zwar das ich [mm] y_H [/mm] und [mm] y_p [/mm] aufstellen muss, aber ich bin mir nicht sicher wie man das ansetzt, um auf eine allgemeine Lösung zu kommen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo,
> Berechnen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung
> [mm]35y-12y'+y''=70x²+57x-275e^{2x}cos(8x)+94e^{2x}sin(8x)+38[/mm]
> Alle Zwischenschritte sind anzugeben.
> Ich weiß zwar das ich [mm]y_H[/mm] und [mm]y_p[/mm] aufstellen muss, aber
> ich bin mir nicht sicher wie man das ansetzt, um auf eine
> allgemeine Lösung zu kommen.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Die allgemeine Lösung erhältst Du, indem Du die homogene und partikuläre Lösung addierst.
Wenn Du den Rechenweg überprüft haben möchtest, dann musst Du deine Rechnung hier schon eintippen.
LG, Martinius
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ich würd ja nur gerne wissen wie ich [mm] y_p [/mm] und [mm] y_H [/mm] aufstelle...da scheitert mein verständnis wie ich die ansetzte...wenn ich [mm] y_p [/mm] und [mm] y_H [/mm] habe ist die sache ja recht einfach, ich muss dann nur mehr [mm] y_p [/mm] zweimal ableiten und einsetzten und anschließend die Variablen über einen Koeffizientenvergleich bestimmen, nur ich weiß halt einfach nicht, wie ich auf [mm] y_p [/mm] und [mm] y_H [/mm] komme, ich weiß nur das ich bei [mm] y_H [/mm] ein charakteristisches polynom mit [mm] \lambda [/mm] bilde.
danke
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Hallo,
zuerst die homogene DGL lösen:
$y''-12*y'+35*y=0$
[mm] $\lambda^2-12*\lambda+35=0$
[/mm]
[mm] $\lambda_{1}=5$ [/mm] und [mm] \lambda_2=7
[/mm]
[mm] $y_H=A*e^{5*x}+B*e^{7x}$
[/mm]
Partikulärer Lösungsansatz, welcher mit seinen 2 Ableitungen in die inhomogene DGL eingesetzt wird:
[mm] $y_p=C*x^2+D*x+E+e^{2x}*(F*sin(8x)+G*cos(8x))$
[/mm]
Du kannst das nachlesen in bspw. L. Papula, Mathematik für Ingeniure & Naturwissenschaftler, Bd. II. Steht bestimmt in jeder Hochschulbibliothek.
LG, Martinius
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also ich habe die variablen nun ausgrechnet und komme auf:
C = 2
D = 3
E = 2
F = 2
G = 3
und auf eine endgültige allgemeine lösung die lautet:
[mm] y=y_H+y_p=Ae^{5x}+Be^{7x}+2x²+3x+2+2e^{2x}sin(8x)+3e^{2x}cos(8x)
[/mm]
und wollte fragen, falls du es gerechnet hast, ob du auf die selbe lösung kommst, ansonsten ist es auch kein problem, aber ich denke ich habe das prinzip der differentialgleichungen verstanden,...zumindest wenn meine lösung stimmt^^
danke nochmals, lg krokogeil
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Hallo krokogeil,
> also ich habe die variablen nun ausgrechnet und komme auf:
> C = 2
> D = 3
> E = 2
> F = 2
> G = 3
Alles richtig!
> und auf eine endgültige allgemeine lösung die lautet:
>
> [mm]y=y_H+y_p=Ae^{5x}+Be^{7x}+2x²+3x+2+2e^{2x}sin(8x)+3e^{2x}cos(8x)[/mm]
Jawohl, korrekt.
> und wollte fragen, falls du es gerechnet hast, ob du auf
> die selbe lösung kommst, ansonsten ist es auch kein
> problem, aber ich denke ich habe das prinzip der
> differentialgleichungen verstanden,...zumindest wenn meine
> lösung stimmt^^
>
> danke nochmals, lg krokogeil
Bitteschön.
LG, Martinius
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