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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:45 Do 20.03.2008 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | [mm]y_1' = (3x-1)*y_1 + (x-1) *y_2 [/mm]
[mm] y_2 = -y_1 [/mm] |
Hallo zusammen, ich habe also zunächst [mm] y_2 = -y_1 [/mm] eingesetzt und erhalte:
[mm]y_1' = (3x-1)*y_1 + (x-1) *y_2 [/mm]
[mm]y_1' = (3x-1)*y_1 + (x-1) *-y_1 [/mm]
[mm]y_1' = (3x-1)*y_1 - (x-1) *y_1 [/mm]
[mm]y_1' = y_1*(3x-1-x+1)[/mm]
[mm]y_1' = y_1*2x[/mm]
Das löse ich durch Trennung der Variablen und erhalte:
[mm] \bruch{1}{y_1} dy = 2x*dx [/mm]
[mm]\integral{\bruch{1}{y_1} dy} = \integral{2x dx}[/mm]
[mm] ln |y_1| = x^{2}+C}[/mm]
[mm] |y_1| = e^{x^{2}} +C [/mm]
Ich weiß durch einsetzen, dass ich die Lösung:
[mm] y_1 = e^{x^{2}} [/mm]
erhalte. Wie aber löse ich formal korrekt die Betragsstriche von [mm] |y_1| [/mm] auf bei:
[mm] |y_1| = e^{x^{2}} +C [/mm]
wenn ich keine Anfangsbedingung gegeben habe?
Viele Grüße, Andreas
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Hallo ebarni,
> [mm]y_1' = (3x-1)*y_1 + (x-1) *y_2[/mm]
>
> [mm]y_2 = -y_1[/mm]
> Hallo zusammen, ich habe also zunächst [mm]y_2 = -y_1[/mm]
> eingesetzt und erhalte:
>
> [mm]y_1' = (3x-1)*y_1 + (x-1) *y_2[/mm]
>
> [mm]y_1' = (3x-1)*y_1 + (x-1) *-y_1[/mm]
>
> [mm]y_1' = (3x-1)*y_1 - (x-1) *y_1[/mm]
>
> [mm]y_1' = y_1*(3x-1-x+1)[/mm]
>
> [mm]y_1' = y_1*2x[/mm]
>
> Das löse ich durch Trennung der Variablen und erhalte:
>
> [mm]\bruch{1}{y_1} dy = 2x*dx[/mm]
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{y_1} dy} = \integral{2x dx}[/mm]
>
> [mm]ln |y_1| = x^{2}+C}[/mm]
>
> [mm]|y_1| = e^{x^{2}} +C[/mm]
>
> Ich weiß durch einsetzen, dass ich die Lösung:
>
> [mm]y_1 = e^{x^{2}}[/mm]
>
> erhalte. Wie aber löse ich formal korrekt die
> Betragsstriche von [mm]|y_1|[/mm] auf bei:
>
> [mm]|y_1| = e^{x^{2}} +C[/mm]
Korrekterweise heisst das so:
[mm]|y_1| = C*e^{x^{2}}[/mm]
Für den Fall [mm]y_{1} > 0[/mm] ergibt sich:
[mm]\vmat{y_{1}}=y_{1}=C*e^{x^{2}}[/mm]
Für den Fall [mm] y_{1} < 0[/mm] ergibt sich:
[mm]\vmat{y_{1}}=-y_{1}=C*e^{x^{2}}\Rightarrow y_{1}=-C*e^{x^{2}[/mm]
Das heisst Du erhältst insgesamt [mm]y_{1}=\pm C*e^{x^{2}}[/mm]
Definieren wir nun [mm]C_{1}:=\pm C[/mm], so erhalten wir
[mm]y_{1}=C_{1}*e^{x^{2}}[/mm]
>
> wenn ich keine Anfangsbedingung gegeben habe?
Wenn eine Anfangsbedingung vorhanden ist, dann wird hierdurch die Konstante C bestimmt. Sonst ist sie unbestimmt.
>
> Viele Grüße, Andreas
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Do 20.03.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo MathePower, danke für Deine schnelle Antwort!
> Korrekterweise heisst das so:
>
> [mm]|y_1| = C*e^{x^{2}}[/mm]
Wie kommst Du darauf? Wegen:
[mm]ln |y_1| = x^2 + C[/mm]
[mm]|y_1| = e^{x^{2}+C}[/mm]
[mm]|y_1| = C_1*e^{x^{2}}[/mm] mit [mm] C_1=e^C
[/mm]
> Wenn eine Anfangsbedingung vorhanden ist, dann wird
> hierdurch die Konstante C bestimmt. Sonst ist sie
> unbestimmt.
>
Heißt das also, das ich C frei wählen kann C [mm] \in \IR [/mm] (außer Null) also z.B. C=1
Viele Grüße, Andreas
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Hallo ebarni,
> Hallo MathePower, danke für Deine schnelle Antwort!
>
> > Korrekterweise heisst das so:
> >
> > [mm]|y_1| = C*e^{x^{2}}[/mm]
>
> Wie kommst Du darauf? Wegen:
>
> [mm]ln |y_1| = x^2 + C[/mm]
>
> [mm]|y_1| = e^{x^{2}+C}[/mm]
>
> [mm]|y_1| = C_1*e^{x^{2}}[/mm] mit [mm]C_1=e^C[/mm]
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> > Wenn eine Anfangsbedingung vorhanden ist, dann wird
> > hierdurch die Konstante C bestimmt. Sonst ist sie
> > unbestimmt.
> >
> Heißt das also, das ich C frei wählen kann C [mm]\in \IR[/mm] (außer
> Null) also z.B. C=1
Ist keine Anfangsbedingung vorgegeben, so läßt man die Lösung auch so stehen:
[mm]y_{1}=C*e^{x^{2}}[/mm]
Für C wird dabei kein bestimmter Wert eingesetzt.
>
> Viele Grüße, Andreas
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:28 Do 20.03.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo MathePower, vielen Dank für Deine Antwort!
Ich wünsche Dir ein frohes Osterfest und grüße ganz herzlich,
Andreas
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