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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Sa 07.10.2017 | | Autor: | SamGreen |
| Aufgabe | Ein Tank enthält 400 Liter Wasser, in dem anfänglich 30 Kilogramm eines Salzes
gelöst sind. Pro Minute fließen 5 Liter der Salzlösung aus dem Tank und 5 Liter
reines Wasser laufen zu. Gib eine Differentialgleichung für die Änderung des
Salzgehaltes an unter der Annahme, dass zu jeder Zeit die Flüssigkeit gleichmäßig
durchmischt ist. Nach wie viel Minuten wird der Salzgehalt auf 10% reduziert?
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Ich hab mich mal mit dem Ansatz probiert, weiß aber nicht obs stimmt.
Anfangssalzmenge im Tank: m(0) = 30 kg
Salzmenge zum Zeitpunkt t je Liter im Tank: m(t)/400 kg
abfließende Salzmenge in der Zeit Delta t: m(t) / 400 * 5 Delta t
zufließende Wassmernge in der Zeit Delta t: 5 Dt
Salzmengenänderung in der Zeit Delta t: Delta m = - m(t)/400 * 5 Delta t + 5 Delta t
Differentialgleichung für die Änderung des Salzgehaltes: m‘(t) = - m(t)/80 + 5
Ist das soweit richtig. Danke für eure HIlfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Sa 07.10.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
du must noch mal überlegen: in Dt=1Min wird die Salzmenge doch nicht um 5kg erhöht, sondern es fliessen 5Ltr Lösung weg.
überlege was die Konzentration nach einer Minute ist, daraus die nach 2 Min.
Du hast eine Mischungsrechnung zu (400-5)kg Lösung von 3/40 Konzentration werde 5 kg mit 0 Konzentration gegeben
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Sa 07.10.2017 | | Autor: | SamGreen |
ja, da hast du Recht. Danke.
D.h. aber die zufließende Wassermenge hat ja keinen Salzgehalt.
Aber es kommt was weg.
Kannst du mir noch helfen bei der Diffgleichung - ich weiß nicht wie ich das einbaue. Danke.
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Hallo SamGreen,
[mm] $c(t)\;=\; \frac{m(t)}{400\;l}$ [/mm] und [mm] $\frac{m(t)}{400\;l}*5\;\frac{l}{min}$\;=\;\frac{m(t)\;kg}{80\;min}
[/mm]
[mm] $\frac{dm(t)}{dt}\;=\;$ [/mm] Salzzunahme minus Salzabnahme
Salzzunahme im Tank = 0
[mm] $\frac{dm(t)}{dt}\;=\; [/mm] - [mm] Salzabnahme\;=\;-\;\frac{m}{80}$
[/mm]
[mm] $\int \frac{1}{m}\;dm\;=\;-\;\frac{1}{80}*\int [/mm] dt$
[mm] $ln|m|\;=\;-\;\frac{t}{80}+ [/mm] ln(C)$
Nun schaffst Du es bestimmt alleine weiter.
(Hoffentlich ohne Fehler von mir.)
LG, Martinius
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