Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Fr 21.02.2014 | | Autor: | fred97 |
| Aufgabe | Hallo miteinander,
für diese Woche ist das die letzte Aufgabe, die ich hier reinstelle:
Sei $y: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] eine Lösung der Differentialgleichung
$y''=-|y|$ und es gelte y(0)=1 und y'(0)=0.
Man zeige , dass $y$ im Intervall $(0, [mm] \infty)$ [/mm] genau eine Nullstelle hat. |
Dürfte ich Diophant nochmals bitten ......
Danke und Gruß
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:13 Fr 21.02.2014 | | Autor: | reverend |
Diese Frage bitte nicht beantworten.
Sie dient nur dazu, die Übungsaufgabe sichtbar zu halten.
Danke.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:14 Fr 21.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo miteinander,
>
> für diese Woche ist das die letzte Aufgabe, die ich hier
> reinstelle:
>
> Sei [mm]y: \IR \to \IR[/mm] eine Lösung der Differentialgleichung
>
> [mm]y''=-|y|[/mm] und es gelte y(0)=1.
>
> Man zeige , dass [mm]y[/mm] im Intervall [mm](0, \infty)[/mm] genau eine
> Nullstelle hat.
> Dürfte ich Diophant nochmals bitten ......
Diesmal wars der reverend !
Danke
FRED
>
> Danke und Gruß
>
> FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:38 Fr 21.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo miteinander,
>
> für diese Woche ist das die letzte Aufgabe, die ich hier
> reinstelle:
>
> Sei [mm]y: \IR \to \IR[/mm] eine Lösung der Differentialgleichung
>
> [mm]y''=-|y|[/mm] und es gelte y(0)=1.
>
> Man zeige , dass [mm]y[/mm] im Intervall [mm](0, \infty)[/mm] genau eine
> Nullstelle hat.
Hallo,
dass es dort keine zweite Nullstelle geben kann, lässt sich anschaulich begründen.
Schließlich ist y'' überall kleiner oder gleich Null. Somit ist y' monoton fallend, und y ist konkav. Der Punkt (0|1) liegt oberhalb der x-Achse. Würde es nach einem ersten Schnittpunkt mit der positiven x-Achse noch einen zweiten geben, hätte die Funktion dazwischen einen Tiefpunkt und wäre um den Tiefpunkt herum konvex.
Dass es überhaupt eine Nullstelle geben muss, bleibt für mich noch offen. Diese Nullstelle wäre dann wohl auch Wendestelle...
Gruß Abakus
> Dürfte ich Diophant nochmals bitten ......
>
> Danke und Gruß
>
> FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Fr 21.02.2014 | | Autor: | abakus |
> > Hallo miteinander,
> >
> > für diese Woche ist das die letzte Aufgabe, die ich
> hier
> > reinstelle:
> >
> > Sei [mm]y: \IR \to \IR[/mm] eine Lösung der
> Differentialgleichung
> >
> > [mm]y''=-|y|[/mm] und es gelte y(0)=1.
> >
> > Man zeige , dass [mm]y[/mm] im Intervall [mm](0, \infty)[/mm] genau eine
> > Nullstelle hat.
> Hallo,
> dass es dort keine zweite Nullstelle geben kann, lässt
> sich anschaulich begründen.
> Schließlich ist y'' überall kleiner oder gleich Null.
> Somit ist y' monoton fallend, und y ist konkav. Der Punkt
> (0|1) liegt oberhalb der x-Achse. Würde es nach einem
> ersten Schnittpunkt mit der positiven x-Achse noch einen
> zweiten geben, hätte die Funktion dazwischen einen
> Tiefpunkt und wäre um den Tiefpunkt herum konvex.
>
> Dass es überhaupt eine Nullstelle geben muss, bleibt für
> mich noch offen. Diese Nullstelle wäre dann wohl auch
> Wendestelle...
Das geht ja aber gar nicht, weil die Funktion dort zwischen konkav und konvex wechseln müsste (was ich vorher ausgeschlossen hatte).
Kann es sein, dass y an seiner Nullstelle nicht differenzierbar ist?
Gruß Abakus
>
> Gruß Abakus
>
>
>
>
> > Dürfte ich Diophant nochmals bitten ......
> >
> > Danke und Gruß
> >
> > FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Fr 21.02.2014 | | Autor: | abakus |
> > > Hallo miteinander,
> > >
> > > für diese Woche ist das die letzte Aufgabe, die ich
> > hier
> > > reinstelle:
> > >
> > > Sei [mm]y: \IR \to \IR[/mm] eine Lösung der
> > Differentialgleichung
> > >
> > > [mm]y''=-|y|[/mm] und es gelte y(0)=1.
> > >
> > > Man zeige , dass [mm]y[/mm] im Intervall [mm](0, \infty)[/mm] genau
> eine
> > > Nullstelle hat.
> > Hallo,
> > dass es dort keine zweite Nullstelle geben kann, lässt
> > sich anschaulich begründen.
> > Schließlich ist y'' überall kleiner oder gleich
> Null.
> > Somit ist y' monoton fallend, und y ist konkav. Der
> Punkt
> > (0|1) liegt oberhalb der x-Achse. Würde es nach einem
> > ersten Schnittpunkt mit der positiven x-Achse noch
> einen
> > zweiten geben, hätte die Funktion dazwischen einen
> > Tiefpunkt und wäre um den Tiefpunkt herum konvex.
> >
> > Dass es überhaupt eine Nullstelle geben muss, bleibt
> für
> > mich noch offen. Diese Nullstelle wäre dann wohl auch
> > Wendestelle...
> Das geht ja aber gar nicht, weil die Funktion dort
> zwischen konkav und konvex wechseln müsste (was ich vorher
> ausgeschlossen hatte).
> Kann es sein, dass y an seiner Nullstelle nicht
> differenzierbar ist?
> Gruß Abakus
> >
> > Gruß Abakus
> >
> >
> >
> >
> > > Dürfte ich Diophant nochmals bitten ......
> > >
> > > Danke und Gruß
> > >
> > > FRED
Hallo FRED,
was ist mit y=|cos(x)| ?
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:46 Sa 22.02.2014 | | Autor: | Nick13 |
Hallo, ich bin neu hier.
Ich versuch's mal mit der Lösung.
Meine Idee ist folgende:
Sei [mm]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm] eine konkave, differenzierbare Funktion. Es gebe ein [mm]x_1\in\mathbb{R}[/mm], sodass [mm]f(x_1)>0[/mm]
und ein [mm]x_2\in\mathbb{R}[/mm], sodass [mm]f'(x_2)<0[/mm]. Dann gibt es ein [mm]x_0\in\mathbb{R}, x_0>x_1[/mm], sodass [mm]f(x_0)=0[/mm].
Beweis: OBdA sei [mm]x_1= x_2[/mm]. Denn falls [mm]x_1>x_2[/mm] ist, dann ist wegen der Konkavität (also Monotonie der ersten Ableitung) von [mm]f[/mm] auch [mm]f'(x_1)<0[/mm]. Und falls [mm]x_10[/mm].
Also sei jetzt [mm]x_1=x_2[/mm].
Wegen der Konkavität von [mm]f[/mm] ist [mm]f(x)\leq f(x_1)+f'(x_1)(x-x_1)\ \forall x>x_1[/mm]. Und wegen [mm]f'(x_1)<0[/mm] gibt ein [mm]x_3\in\mathbb{R}, x_3>x_1[/mm] mit [mm]f(x_1)+f'(x_1)(x_3-x_1)=0[/mm]. Also gibt es auch ein [mm]x\in\mathbb{R}, x>x_1[/mm], sodass [mm]f(x)=0[/mm].
Ich hoffe, dieser Beweis stimmt so (um diese Zeit kann es mal passieren, dass ich da einen Fehler reinhaue  ).
Jetzt bleibt also noch zu zeigen, dass es ein [mm]x\in\mathbb{R}[/mm] gibt, sodass [mm]y'(x)<0[/mm] ist, dann folgt daraus die Behauptung (denn dass es im Intervall [mm](0, \infty)[/mm] nur maximal eine Nullstelle geben kann, hatte abakus ja oben schon gezeigt).
Angenommen, [mm]y'[/mm] wäre nicht-negativ auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm]. Dann ist [mm]y[/mm] monoton steigend. Also ist [mm]y''=-|y|[/mm] auf [mm][0, \infty)[/mm] monoton fallend. Wegen dieser Monotonie ist [mm]y'[/mm] dann auf [mm][0, \infty)[/mm] konkav.
Weil aber [mm]y''[/mm] nicht-positiv ist, muss [mm]y'[/mm] monoton fallend sein.
Wegen des Lemmas, das ich ganz am Anfang bewiesen habe, muss [mm]y'[/mm] dann eine Nullstelle besitzen. Und folglich ist [mm]y'[/mm] an allen Stellen rechts von dieser Nullstelle negativ. Das ist ein Widerspruch zu der Annahme, dass [mm]y'[/mm] auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm] nicht-negativ wäre.
Ich hoffe, in meinem Beweis passt alles.
Meine erste Idee war, den Banachschen Fixpunktsatz auf [mm]g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x):=y(x)+x[/mm] anzuwenden, aber ist das hier überhaupt möglich? Dazu müsste ja g eine Kontraktion sein, also [mm]|g(x_1)-g(x_2)|=|y(x_1)-y(x_2)|\leq t|x_1-x_2|\ \forall x_1, x_2\in\mathbb{R}[/mm] für ein [mm]t\in[0,1)[/mm] sein. Ist das hier der Fall, und wenn ja,wie kann man das zeigen? Und außerdem muss man ja auch noch zeigen, dass der Fixpunkt tatsächlich an einer Stelle x>0 liegt. Da wüsste ich auch nicht, wie man das zeigen sollte.
Deswegen habe ich diese Idee dann ziemlich schnell wieder verworfen.
Gute Nacht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:55 Mo 24.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich bin neu hier.
> Ich versuch's mal mit der Lösung.
>
> Meine Idee ist folgende:
> Sei [mm]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm] eine konkave,
> differenzierbare Funktion. Es gebe ein [mm]x_1\in\mathbb{R}[/mm],
> sodass [mm]f(x_1)>0[/mm]
> und ein [mm]x_2\in\mathbb{R}[/mm], sodass [mm]f'(x_2)<0[/mm]. Dann gibt es
> ein [mm]x_0\in\mathbb{R}, x_0>x_1[/mm], sodass [mm]f(x_0)=0[/mm].
>
> Beweis: OBdA sei [mm]x_1= x_2[/mm]. Denn falls [mm]x_1>x_2[/mm] ist, dann ist
> wegen der Konkavität (also Monotonie der ersten Ableitung)
> von [mm]f[/mm] auch [mm]f'(x_1)<0[/mm]. Und falls [mm]x_1
> [mm]\tilde{x_2}\in\mathbb{R}[/mm] mit [mm]f'(\tilde{x_2})<0[/mm] und
> [mm]f(\tilde{x_2})>0[/mm].
> Also sei jetzt [mm]x_1=x_2[/mm].
> Wegen der Konkavität von [mm]f[/mm] ist [mm]f(x)\leq f(x_1)+f'(x_1)(x-x_1)\ \forall x>x_1[/mm].
> Und wegen [mm]f'(x_1)<0[/mm] gibt ein [mm]x_3\in\mathbb{R}, x_3>x_1[/mm] mit
> [mm]f(x_1)+f'(x_1)(x_3-x_1)=0[/mm]. Also gibt es auch ein
> [mm]x\in\mathbb{R}, x>x_1[/mm], sodass [mm]f(x)=0[/mm].
>
>
> Ich hoffe, dieser Beweis stimmt so (um diese Zeit kann es
> mal passieren, dass ich da einen Fehler reinhaue ).
>
>
> Jetzt bleibt also noch zu zeigen, dass es ein
> [mm]x\in\mathbb{R}[/mm] gibt, sodass [mm]y'(x)<0[/mm] ist, dann folgt daraus
> die Behauptung (denn dass es im Intervall [mm](0, \infty)[/mm] nur
> maximal eine Nullstelle geben kann, hatte abakus ja oben
> schon gezeigt).
>
> Angenommen, [mm]y'[/mm] wäre nicht-negativ auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm].
> Dann ist [mm]y[/mm] monoton steigend. Also ist [mm]y''=-|y|[/mm] auf [mm][0, \infty)[/mm]
> monoton fallend. Wegen dieser Monotonie ist [mm]y'[/mm] dann auf [mm][0, \infty)[/mm]
> konkav.
> Weil aber [mm]y''[/mm] nicht-positiv ist, muss [mm]y'[/mm] monoton fallend
> sein.
> Wegen des Lemmas, das ich ganz am Anfang bewiesen habe,
> muss [mm]y'[/mm] dann eine Nullstelle besitzen. Und folglich ist [mm]y'[/mm]
> an allen Stellen rechts von dieser Nullstelle negativ. Das
> ist ein Widerspruch zu der Annahme, dass [mm]y'[/mm] auf ganz
> [mm]\mathbb{R}[/mm] nicht-negativ wäre.
>
>
> Ich hoffe, in meinem Beweis passt alles.
Sieht gut aus !
Gruß FRED
>
> Meine erste Idee war, den Banachschen Fixpunktsatz auf
> [mm]g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x):=y(x)+x[/mm] anzuwenden, aber
> ist das hier überhaupt möglich? Dazu müsste ja g eine
> Kontraktion sein, also [mm]|g(x_1)-g(x_2)|=|y(x_1)-y(x_2)|\leq t|x_1-x_2|\ \forall x_1, x_2\in\mathbb{R}[/mm]
> für ein [mm]t\in[0,1)[/mm] sein. Ist das hier der Fall, und wenn
> ja,wie kann man das zeigen? Und außerdem muss man ja auch
> noch zeigen, dass der Fixpunkt tatsächlich an einer Stelle
> x>0 liegt. Da wüsste ich auch nicht, wie man das zeigen
> sollte.
> Deswegen habe ich diese Idee dann ziemlich schnell wieder
> verworfen.
>
> Gute Nacht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 Mo 24.02.2014 | | Autor: | Nick13 |
D.h. die Voraussetzung y'(0)=0, die du später noch ergänzt hast, braucht man ja dann doch nicht, oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:38 Sa 22.02.2014 | | Autor: | fred97 |
Ich muss mich bei allen, die sich mit dieser Aufgabe beschäftigt haben entschuldigen, denn ich habe eine Voraussetzung unterschlagen:
Neben $y''=-|y|$ und und y(0)=1
soll auch noch y'(0)=0 gelten.
Pardon und Gruß
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:12 Mo 24.02.2014 | | Autor: | fred97 |
Meine Lösung:
Sei $I:=(0, [mm] \infty)$. [/mm] Für $x [mm] \in [/mm] I$ ist (beachte $y'(0)=0$):
[mm] $y'(x)=\integral_{0}^{x}{y''(t) dt}=-\integral_{0}^{x}{|y(t)| dt}<0$
[/mm]
y ist also auf I streng fallend.
(A) y hat somit auf I höchstens eine Nullstelle.
Annahme: y hat auf I keine Nullstelle. Wegen der Stetigkeit von y und wegen y(0)=1, ist y>0 auf I. Damit gibt es ein r>0 mit:
y>0 auf (-r, [mm] \infty)=:I_r
[/mm]
Das Anfangswertproblem lautet auf [mm] I_r [/mm] dann so:
$y''+y=0$, y(0)=1 , y'(0)=0.
Dieses AWP hat auf [mm] I_r [/mm] genau eine Lösung, nämlich:
[mm] $y(x)=\cos(x)$.
[/mm]
Das ist aber ein Widerspruch zu obiger Annahme. Also
(B) y hat auf I mindestens eine Nullstelle.
Gruß FRED
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