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| Aufgabe | Löse die Dgl: g''(r) + [mm] (\bruch{n-1}{r})*g'(r)=0
[/mm]
Hinweis: Betrachte den Fall n=2 separat. |
also ich habe es mir so überlegt, dass ich den ansatz [mm] g(r)=e^{\lambda*r}
[/mm]
da erhalte ich für lambda die lösungen: [mm] \lambda=0 [/mm] und [mm] \lambda=\bruch{n-1}{r} [/mm]
mein problem ist hier, dass ich mir nciht sicher bin ob ich das r einfach so ignorieren kann, da ja g auch von r abhängt und wenn ich es so löse erhalte ich als lösung: g(r)=A + [mm] B*e^{n-1} [/mm] was auch nicht so toll ist weil sich das r wegkürzt :)
A,B sind konstanten!
Danke für eure Hilfe!!!
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ignorieren darfst du es nicht, denn es ist ja die unabhängige Variable.
Wenn du aber mit [mm] r^2 [/mm] multipliziert, wird es zu einer Eulerschen DGL:
[mm] g''(r)+(\bruch{n-1}{r})\cdot{}g'(r)=0 [/mm]
[mm] r^2*g''(r)+(n-1)*r*g'(r)=0
[/mm]
Also erstmal z''(r)+(n-2)*z'(r)=0 lösen.
char. Polynom ist [mm] \lambda^2+(n-2)\lambda=0
[/mm]
[mm] \lambda_1=0 [/mm] und [mm] \lambda_2=2-n
[/mm]
Also ist [mm] r^0=1 [/mm] bzw. [mm] r^{2-n} [/mm] ein Fundamentalsystem der ursprünglichen DGL.
[mm] (n\not=2, [/mm] das sonst linear abhängig)
[mm] g(r)=A+B*r^{2-n}
[/mm]
Dann musst du nur noch den Spezialfall n=2 betrachten.
[mm] \lambda_1=\lambda_2=0
[/mm]
Also ist ein Fundamentalsystem [mm] x^0=1 [/mm] und [mm] x^0*ln(x)=ln(x)
[/mm]
Damit [mm] g_2(r)=A+B*ln(r)[/mm]
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wow danke für die schnelle antwort.
ich hab ejetzt nur ein problem. da wir noch keine Eulerschen DGL gelernt haben sondenr nur gewöhnliche Dgls könntest du mir vielleicht noch kurz erklären wie du hier die transformationen gemacht hast???
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo analysis!
Hilft Dir ![[]](/images/popup.gif) dieser Link weiter?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Sa 19.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst auch einfach deine Dgl umschreiben in eine 1. Grades für g'
dh. setze g'(r)=v(r) löse die Dgl für v durch Separation der Variablen. und integriere dann einfach v um g zu finden.
(den Ansatz mit [mm] e^{\lambda*r} [/mm] kannst du nur bei linearen Dgl. machen)
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Sa 19.04.2008 | | Autor: | analysis3 |
danke für den link. jetzt ist es mir klar wie es geht!!
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