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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Mo 12.05.2008 | | Autor: | kittycat |
| Aufgabe | [mm] B^p [/mm] bezeichne die Menge aller stetigen diff.baren Differentialformen vom Grade p auf der offenen Mene M [mm] \subseteq IR^n, [/mm] die die Form [mm] d\sigma [/mm] mit einer geeigneten Diffform [mm] \sigma [/mm] vom Grade p-1 auf M haben, dabei setze man [mm] B^0 [/mm] = 0.
Ferner sei [mm] Z^p [/mm] die Menge aller stetig diffbaren geschlossenen Diffformen vom Grad p auf M.
[mm] B^p [/mm] und [mm] Z^p [/mm] sind reelle Vektorräume mit [mm] B^p \subseteq Z^p.
[/mm]
(i) Berechne die Faktorvektorräume [mm] H^p [/mm] := [mm] \bruch{Z^p}{B^p} [/mm] für alle p [mm] \ge [/mm] 0, wenn M das Innere der Einheitskugel im [mm] IR^n [/mm] ist.
(ii) Welche der folgenden Differentialformen liegen in [mm] B^p, [/mm] welche in [mm] Z^p [/mm] (wobei [mm] M=IR^2 [/mm] - {0} bzw. [mm] IR^3 [/mm] - {0})
- [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2)^{-1} [/mm] (xdx + ydy)
- [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2)^{-1}(xdx [/mm] - ydy)
- [mm] \bruch{x}{x^2 + y^2 + z^2}dx \wedge [/mm] dy + (y - [mm] \bruch{z}{x^2 + y^2 + z^2})dy \wedge [/mm] dz + xdx [mm] \wedge [/mm] dz
- [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2)^{\bruch{-3}{2}}(zdx \wedge [/mm] dy + [mm] xdy\wedge [/mm] dz + ydz [mm] \wedge [/mm] dx) |
Hallo liebe Mathefreunde,
hab schon wieder eine Differentialform-Aufgabe ... und obwohl ich schon so viel damit gerechnet habe, weiß ich bei dieser Aufgabe trotzdem nicht weiter :-/ *heul, heul*
Es geht ja hier um geschlossene Differentialformen, d.h. nach Skrip-Definition:
[p-Form [mm] \psi [/mm] mit [mm] \psi=d\omega, \omega [/mm] (p-1)-Form [mm] \Rightarrow \psi [/mm] heißt exakt;
[mm] d\psi [/mm] = [mm] dd\omega [/mm] = 0 , d.h. [mm] \psi [/mm] ist insbesondere geschlossen]
Zu (i):
Die Gleichung der Einheitskugel lautet ja: [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] = 1 Das Innere wäre ja dann: [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] < 1, oder?
Wie soll ich aber die Faktorvektorräume berechnen? Über dem Bruchstrich steht ja dann eine Menge stetig diffbarer geschl. Diffformen vom Grad p auf [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] < 1, und unten Menge aller stetig diffbaren Diffformen vom Gad p auf derselben (nur offenen) Menge M. Das ist so theoretische Aussagen, damit kann man doch nicht wirklich rechnen, oder?
zu (ii):
Muss ich hier schauen welche davon geschlossen bzw. exakt sind mit obiger Skript-Definition? D.h. muss ich schauen, dass [mm] \psi [/mm] = [mm] d\omega [/mm] ? Aber was wäre dann hier mein [mm] \psi [/mm] und was mein [mm] \omega???
[/mm]
Wäre um jeden Ratschlag dankbar ....
Liebe Grüße
Kittycat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Mo 12.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kittycat!
> [mm]B^p[/mm] bezeichne die Menge aller stetigen diff.baren
> Differentialformen vom Grade p auf der offenen Mene M
> [mm]\subseteq IR^n,[/mm] die die Form [mm]d\sigma[/mm] mit einer geeigneten
> Diffform [mm]\sigma[/mm] vom Grade p-1 auf M haben, dabei setze man
> [mm]B^0[/mm] = 0.
> Ferner sei [mm]Z^p[/mm] die Menge aller stetig diffbaren
> geschlossenen Diffformen vom Grad p auf M.
> [mm]B^p[/mm] und [mm]Z^p[/mm] sind reelle Vektorräume mit [mm]B^p \subseteq Z^p.[/mm]
>
> (i) Berechne die Faktorvektorräume [mm]H^p[/mm] := [mm]\bruch{Z^p}{B^p}[/mm]
> für alle p [mm]\ge[/mm] 0, wenn M das Innere der Einheitskugel im
> [mm]IR^n[/mm] ist.
>
> (ii) Welche der folgenden Differentialformen liegen in [mm]B^p,[/mm]
> welche in [mm]Z^p[/mm] (wobei [mm]M=IR^2[/mm] - {0} bzw. [mm]IR^3[/mm] - {0})
>
> - [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2)^{-1}[/mm] (xdx + ydy)
>
> - [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2)^{-1}(xdx[/mm] - ydy)
>
> - [mm]\bruch{x}{x^2 + y^2 + z^2}dx \wedge[/mm] dy + (y -
> [mm]\bruch{z}{x^2 + y^2 + z^2})dy \wedge[/mm] dz + xdx [mm]\wedge[/mm] dz
>
> - [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2)^{\bruch{-3}{2}}(zdx \wedge[/mm] dy +
> [mm]xdy\wedge[/mm] dz + ydz [mm]\wedge[/mm] dx)
> Hallo liebe Mathefreunde,
>
> hab schon wieder eine Differentialform-Aufgabe ... und
> obwohl ich schon so viel damit gerechnet habe, weiß ich bei
> dieser Aufgabe trotzdem nicht weiter :-/ *heul, heul*
>
> Es geht ja hier um geschlossene Differentialformen, d.h.
> nach Skrip-Definition:
> [p-Form [mm]\psi[/mm] mit [mm]\psi=d\omega, \omega[/mm] (p-1)-Form
> [mm]\Rightarrow \psi[/mm] heißt exakt;
> [mm]d\psi[/mm] = [mm]dd\omega[/mm] = 0 , d.h. [mm]\psi[/mm] ist insbesondere
> geschlossen]
>
> Zu (i):
> Die Gleichung der Einheitskugel lautet ja: [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm]
> = 1 Das Innere wäre ja dann: [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] < 1, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie soll ich aber die Faktorvektorräume berechnen? Über dem
> Bruchstrich steht ja dann eine Menge stetig diffbarer
> geschl. Diffformen vom Grad p auf [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] < 1, und
> unten Menge aller stetig diffbaren Diffformen vom Gad p auf
> derselben (nur offenen) Menge M. Das ist so theoretische
> Aussagen, damit kann man doch nicht wirklich rechnen,
> oder?
Vorsicht, unten steht mit [mm]B^p[/mm] die Menge aller exakten p-Formen.
Zu den Faktorvektroräumen: das funktioniert immer nach dem gleichen Schema: der Nenner definiert dir Äquivalenzklassen auf dem Zähler. Der Zähler ist der VR aller geschlossenen p-Formen, der Nenner der VR der exakten p-Formen. Die Äquivalenzrelation auf dem Vektorraum der geschlossenen p-Formen ist dann:
[mm] \omega_1 \tilde \omega_2 \gdw (\omega_1-\omega_2) \text{ ist exakt} [/mm]
Zwei geschlossene p-Formen sind also äquivalent (bzgl. dieser Relation), wenn sie sich nur um eine exakte p-Form unterscheiden. Der Faktorvektorraum ist der VR dieser Äquivalenzklassen.
Habt ihr etwas in der Vorlesung im Skript zu der Frage, wann eine geschlossene Form exakt ist und wann nicht?
> zu (ii):
> Muss ich hier schauen welche davon geschlossen bzw. exakt
> sind mit obiger Skript-Definition? D.h. muss ich schauen,
> dass [mm]\psi[/mm] = [mm]d\omega[/mm] ? Aber was wäre dann hier mein [mm]\psi[/mm] und
> was mein [mm]\omega???[/mm]
Alle diese Formen wären dein [mm] $\psi$, [/mm] um nachzuschauen, ob sie exakt sind. Wenn sie das nicht sind, dann berechnest du [mm] $d\psi$, [/mm] um herauszufinden, ob sie geschlossen sind.
(Oder umgekehrt: es ist einfacher, zuerst Geschlossenheit zu überprüfen. Sind sie nicht geschlossen, können sie auch nicht exakt sein.)
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:33 Mo 12.05.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Rainer,
vielen Dank für das schnelle Antworten!!!
> Vorsicht, unten steht mit [mm]B^p[/mm] die Menge aller exakten
> p-Formen.
>
> Zu den Faktorvektroräumen: das funktioniert immer nach dem
> gleichen Schema: der Nenner definiert dir Äquivalenzklassen
> auf dem Zähler. Der Zähler ist der VR aller geschlossenen
> p-Formen, der Nenner der VR der exakten p-Formen. Die
> Äquivalenzrelation auf dem Vektorraum der geschlossenen
> p-Formen ist dann:
>
> [mm]\omega_1 \tilde \omega_2 \gdw (\omega_1-\omega_2) \text{ ist exakt}[/mm]
>
> Zwei geschlossene p-Formen sind also äquivalent (bzgl.
> dieser Relation), wenn sie sich nur um eine exakte p-Form
> unterscheiden. Der Faktorvektorraum ist der VR dieser
> Äquivalenzklassen.
>
> Habt ihr etwas in der Vorlesung im Skript zu der Frage,
> wann eine geschlossene Form exakt ist und wann nicht?
Bei uns im Skript steht nur folgende Definition und ihre Folgerung:
Eine diff.bare Diffform [mm] \phi [/mm] heißt geschlossen, wenn [mm] d\phi [/mm] = 0 gilt.
Die From [mm] \phi [/mm] heißt exakt, wenn es eine diffbare Difform [mm] \psi [/mm] mit [mm] d\psi [/mm] = [mm] \phi [/mm] gibt.
Folgerung: Ist [mm] \phi [/mm] auf der offenen Menge U [mm] \subseteq IR^n [/mm] einmal differenzierbar und exakt, so ist [mm] \phi [/mm] geschlossen.
> > zu (ii):
> > Muss ich hier schauen welche davon geschlossen bzw.
> exakt
> > sind mit obiger Skript-Definition? D.h. muss ich schauen,
> > dass [mm]\psi[/mm] = [mm]d\omega[/mm] ? Aber was wäre dann hier mein [mm]\psi[/mm] und
> > was mein [mm]\omega???[/mm]
>
> Alle diese Formen wären dein [mm]\psi[/mm], um nachzuschauen, ob sie
> exakt sind. Wenn sie das nicht sind, dann berechnest du
> [mm]d\psi[/mm], um herauszufinden, ob sie geschlossen sind.
>
> (Oder umgekehrt: es ist einfacher, zuerst Geschlossenheit
> zu überprüfen. Sind sie nicht geschlossen, können sie auch
> nicht exakt sein.)
Also rechne ich [mm] d\psi [/mm] folgendermaßen aus:
[mm] (\bruch{\partial}{\partial x}dx [/mm] + [mm] \bruch{\partial}{\partial y}dy [/mm] + [mm] \bruch{\partial}{\partial z}dz) \wedge \psi
[/mm]
= ...
Ne??? und wenn hier gleich 0 rauskommt, dann weiß ich ja, dass es geschlossen ist und somit in [mm] Z^p [/mm] liegt, oder?
Liebe Grüße
Kittycat
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Hallo,
> Hallo Rainer,
>
> vielen Dank für das schnelle Antworten!!!
>
> > Vorsicht, unten steht mit [mm]B^p[/mm] die Menge aller exakten
> > p-Formen.
> >
> > Zu den Faktorvektroräumen: das funktioniert immer nach dem
> > gleichen Schema: der Nenner definiert dir Äquivalenzklassen
> > auf dem Zähler. Der Zähler ist der VR aller geschlossenen
> > p-Formen, der Nenner der VR der exakten p-Formen. Die
> > Äquivalenzrelation auf dem Vektorraum der geschlossenen
> > p-Formen ist dann:
> >
> > [mm]\omega_1 \tilde \omega_2 \gdw (\omega_1-\omega_2) \text{ ist exakt}[/mm]
>
> >
> > Zwei geschlossene p-Formen sind also äquivalent (bzgl.
> > dieser Relation), wenn sie sich nur um eine exakte p-Form
> > unterscheiden. Der Faktorvektorraum ist der VR dieser
> > Äquivalenzklassen.
> >
> > Habt ihr etwas in der Vorlesung im Skript zu der Frage,
> > wann eine geschlossene Form exakt ist und wann nicht?
>
> Bei uns im Skript steht nur folgende Definition und ihre
> Folgerung:
>
> Eine diff.bare Diffform [mm]\phi[/mm] heißt geschlossen, wenn [mm]d\phi[/mm]
> = 0 gilt.
> Die From [mm]\phi[/mm] heißt exakt, wenn es eine diffbare Difform
> [mm]\psi[/mm] mit [mm]d\psi[/mm] = [mm]\phi[/mm] gibt.
> Folgerung: Ist [mm]\phi[/mm] auf der offenen Menge U [mm]\subseteq IR^n[/mm]
> einmal differenzierbar und exakt, so ist [mm]\phi[/mm] geschlossen.
>
ihr hattet doch bestimmt auch das poincare-lemma, oder? das besagt naemlich, dass in 'netten' Mengen, zb. konvexen, geschlossene diffformen auch exakt sind. damit wird aufgabe (i) sehr leicht...
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Sa 17.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ich würde nun auch gerne wissen, wie die Faktorräume [mm] H^p [/mm] nun aussehen 
Also so wie ich den Strang gelesen habe, war der letzt Stand:
- [mm] B^p [/mm] : Menge aller exakten p-Formen auf M, die die Form [mm] d\sigma [/mm] mit geeignetem [mm] \sigma [/mm] vom Grad p-1 haben, wobei [mm] M=\{x \in \IR^n: x_1^2 + ... + x_n^2 < 1\}
[/mm]
- [mm] Z^p: [/mm] VR aller geschlossenen p-Formen mit Äquivalenzrelation [mm] \omega_1 [/mm] ~ [mm] \omega_2 \gdw (\omega_1 [/mm] - [mm] \omega_2) [/mm] exakt.
Versteh ich das nun richtig, dass die gesuchten Faktorräume [mm] Z^p [/mm] die VRe dieser Äquivalenzklassen sind?
Hm, nach dem Poincaréschen Lemma gilt ja, da M als Kugel ein zusammenziehbares Gebiet des [mm] \IR^n [/mm] ist (dass sie offen ist, machts nichts, oder?) und [mm] \phi, [/mm] eine Differentialform aus [mm] B^p [/mm] ist, dass dann eine stetig diffbare (p-1)-Form [mm] \sigma [/mm] mit [mm] \phi= d\sigma [/mm] existiert.
Stimmt das so weit?
Ich versteh aber nicht wie man das nun mit der Äquivalenzrelation von oben zusammenbringen kann um [mm] H^p [/mm] anzugeben bzw zu berechnen?
Wäre super, wenn ihr mir da weiterhelfen könntet...!
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 So 18.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> ich würde nun auch gerne wissen, wie die Faktorräume [mm]H^p[/mm]
> nun aussehen
> Also so wie ich den Strang gelesen habe, war der letzt
> Stand:
> - [mm]B^p[/mm] : Menge aller exakten p-Formen auf M, die die Form
> [mm]d\sigma[/mm] mit geeignetem [mm]\sigma[/mm] vom Grad p-1 haben, wobei
> [mm]M=\{x \in \IR^n: x_1^2 + ... + x_n^2 < 1\}[/mm]
> - [mm]Z^p:[/mm] VR aller
> geschlossenen p-Formen mit Äquivalenzrelation [mm]\omega_1[/mm] ~
> [mm]\omega_2 \gdw (\omega_1[/mm] - [mm]\omega_2)[/mm] exakt.
>
> Versteh ich das nun richtig, dass die gesuchten Faktorräume
> [mm]Z^p[/mm] die VRe dieser Äquivalenzklassen sind?
> Hm, nach dem Poincaréschen Lemma gilt ja, da M als Kugel
> ein zusammenziehbares Gebiet des [mm]\IR^n[/mm] ist (dass sie offen
> ist, machts nichts, oder?) und [mm]\phi,[/mm] eine Differentialform
> aus [mm]B^p[/mm] ist, dass dann eine stetig diffbare (p-1)-Form
> [mm]\sigma[/mm] mit [mm]\phi= d\sigma[/mm] existiert.
Erstmal: Gebiete sind immer offen (per definitionem).
> Stimmt das so weit?
Ja.
> Ich versteh aber nicht wie man das nun mit der
> Äquivalenzrelation von oben zusammenbringen kann um [mm]H^p[/mm]
> anzugeben bzw zu berechnen?
Wenn alle geschlossenen Formen exakt sind, dann gilt für zwei beliebige geschlossene Formen [mm]\omega_1[/mm] und [mm]\omega_2[/mm]: [mm]\omega_1-\omega_2[/mm] ist exakt. Wieviele Äquivalenzklassen hast du? Was bedeutet das für den Faktorraum?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 So 18.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
danke für die Erklärungen. Irgendwie scheinen wir ja nicht mehr weit weg von diesem [mm] H^p [/mm] zu sein... hm.
Also das würde doch bedeuten, dass alle p-Formen aus [mm] Z^p [/mm] äquivalent zueinander sind, da sie alle geschlossen sind.
... Ich weiß nicht, ist [mm] H^p [/mm] der Raum aller Formen die zwar geschlossen sind, aber nicht exakt?
Allerdings sagt ja Poincaré dass man auf so einer zusammenziehbaren Menge aus geschlossen exakt folgern darf... oder bin ich nun ganz verwirrt?
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 So 18.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> danke für die Erklärungen. Irgendwie scheinen wir ja nicht
> mehr weit weg von diesem [mm]H^p[/mm] zu sein... hm.
>
> Also das würde doch bedeuten, dass alle p-Formen aus [mm]Z^p[/mm]
> äquivalent zueinander sind, da sie alle geschlossen sind.
Das heisst, du hast wieviele Äquivalenzklassen und damit wieviele Element der Menge [mm]H^p[/mm] ?
> ... Ich weiß nicht, ist [mm]H^p[/mm] der Raum aller Formen die zwar
> geschlossen sind, aber nicht exakt?
Nicht ganz, denn das ist immer modulo einer exakten Form.
> Allerdings sagt ja Poincaré dass man auf so einer
> zusammenziehbaren Menge aus geschlossen exakt folgern
> darf... oder bin ich nun ganz verwirrt?
Genau. Wie sieht also [mm]H^p[/mm] für zusammenziehbare Mengen aus? Es ist wirklich so einfach!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 So 18.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
> Das heisst, du hast wieviele Äquivalenzklassen und damit
> wieviele Element der Menge [mm]H^p[/mm] ?
Dann haben wir nur eine Äquivalenzklasse, also hat [mm] H^p [/mm] ein Element? Macht das Sinn...?
> > ... Ich weiß nicht, ist [mm]H^p[/mm] der Raum aller Formen die zwar
> > geschlossen sind, aber nicht exakt?
>
> Nicht ganz, denn das ist immer modulo einer exakten Form.
Hm, was bedeutet das modulo einer exakten Form? Irgendwie lassen mich hier meine nicht vorhandenen LA-Kenntnisse im Stich.
> > Allerdings sagt ja Poincaré dass man auf so einer
> > zusammenziehbaren Menge aus geschlossen exakt folgern
> > darf... oder bin ich nun ganz verwirrt?
>
> Genau. Wie sieht also [mm]H^p[/mm] für zusammenziehbare Mengen aus?
> Es ist wirklich so einfach!
Hmm, für mich leider noch nicht, irgendwie häng ich fest... geschlossen und exakt... ich glaub ich dreh mich im Kreis ;(
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:53 Mo 19.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hi Rainer,
>
> > Das heisst, du hast wieviele Äquivalenzklassen und damit
> > wieviele Element der Menge [mm]H^p[/mm] ?
>
> Dann haben wir nur eine Äquivalenzklasse, also hat [mm]H^p[/mm] ein
> Element? Macht das Sinn...?
Es ist der Grenzfall: per Definition muss [mm]H^p[/mm] mindestens ein Element haben.
>
> > > ... Ich weiß nicht, ist [mm]H^p[/mm] der Raum aller Formen die zwar
> > > geschlossen sind, aber nicht exakt?
> >
> > Nicht ganz, denn das ist immer modulo einer exakten Form.
> Hm, was bedeutet das modulo einer exakten Form? Irgendwie
> lassen mich hier meine nicht vorhandenen LA-Kenntnisse im
> Stich.
>
> > > Allerdings sagt ja Poincaré dass man auf so einer
> > > zusammenziehbaren Menge aus geschlossen exakt folgern
> > > darf... oder bin ich nun ganz verwirrt?
> >
> > Genau. Wie sieht also [mm]H^p[/mm] für zusammenziehbare Mengen aus?
> > Es ist wirklich so einfach!
>
> Hmm, für mich leider noch nicht, irgendwie häng ich fest...
> geschlossen und exakt... ich glaub ich dreh mich im Kreis
> ;(
Na, du hast doch oben festgestellt, dass [mm]H^p[/mm] dann nur ein Element hat. Wie sieht denn ein Vektorraum aus, der nur aus einem einzigen Vektor besteht? Du hast nur den Nullvektor.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
ah cool, so langsam dämmerts
Mal noch eine dumme Frage, wie nennt sich der Nullvektor im Raum der Differentialformen? Gibt es da so etwas wie eine Null-p-Form...??
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:05 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
achso, okay, ist ja eigentlich naheliegend.
Vielen Dank nochmals für deine geduldigen Erklärungen, hat mir auf jeden Fall geholfen etwas mehr von diesem Thema zu verstehen!!
Viele Grüße,
Riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Di 13.05.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Rainer, Mathias und alle anderen Mathefreunde,
also ich habe nun bei der (ii) das [mm] d\psi [/mm] (in der Aufgabestellung steht ja das [mm] \psi) [/mm] berechnet, mit folgendem Ergebnis:
(i) [mm] d\psi [/mm] = 0
(ii) [mm] d\psi [/mm] = [mm] \bruch{4xy}{(x^2 + y^2)^2}dx\wedge [/mm] dy [mm] \not= [/mm] 0
(iii) [mm] d\psi [/mm] = 0
(iv) [mm] d\psi [/mm] = 0
D.h. also sind (nach meiner Definition aus dem Skript) alle diese Differentialformen außer der zweiten geschlossen, oder?
Heißt es auch gleichzeitig, dass alle diese Diffformen in [mm] Z^p [/mm] liegen, da sie geschlossen sind?
Jetzt muss ich aber auch alle auf Exaktheit prüfen ... wie soll ich das machen?
Wäre für jeden Tipp und jede Hilfe dankbar,
Liebe Grüße
Kittycat
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Mi 14.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer, Mathias und alle anderen Mathefreunde,
>
> also ich habe nun bei der (ii) das [mm]d\psi[/mm] (in der
> Aufgabestellung steht ja das [mm]\psi)[/mm] berechnet, mit folgendem
> Ergebnis:
>
> (i) [mm]d\psi[/mm] = 0
> (ii) [mm]d\psi[/mm] = [mm]\bruch{4xy}{(x^2 + y^2)^2}dx\wedge[/mm] dy [mm]\not=[/mm] 0
> (iii) [mm]d\psi[/mm] = 0
Bist du sicher? Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ist
[mm]d\psi = \bruch{4zx}{(x^2+y^2+z^2)^2} dx\wedge dy\wedge dz [/mm].
EDIT:
Bedeuten die "-" vor den einzelnen Formen in (i)-(iv) Minus- oder Aufzählungszeichen? Ich habe die als Minuszeichen gelesen. Wenn nicht, dann hast du recht: [mm] $d\psi=0$ [/mm] und die Form ist geschlossen.
>
> (iv) [mm]d\psi[/mm] = 0
>
> D.h. also sind (nach meiner Definition aus dem Skript) alle
> diese Differentialformen außer der zweiten geschlossen,
> oder?
> Heißt es auch gleichzeitig, dass alle diese Diffformen in
> [mm]Z^p[/mm] liegen, da sie geschlossen sind?
Ja, (i) in [mm] $Z^1$, [/mm] (iv) in [mm] $Z^2$.
[/mm]
> Jetzt muss ich aber auch alle auf Exaktheit prüfen ... wie
> soll ich das machen?
Du kannst entweder das Poincaré-Lemma anwenden, oder es zu Fuß machen, mittels folgender Überlegung:
Für 1-Formen im [mm] $\IR^2$ [/mm] ist
[mm] \psi = P(x,y) dx + Q(x,y) dy [/mm]
Damit dies eine exakte 1-Form ist, muss es eine Funktion [mm] $\phi(x,y)$ [/mm] geben, sodass
[mm] P(x,y) = \bruch{\partial \phi}{\partial x} [/mm] und [mm] Q(x,y) = \bruch{\partial \phi}{\partial y} [/mm].
Wenn ich die erste Beziehung nach x integriere, bekomme ich:
[mm] \phi(x,y) = \integral P(x,y) dx +\phi_1(y) [/mm]
mit einer nicht näher bestimmten Funktion [mm] $\phi_1(y)$.
[/mm]
Jetzt setze ich das P(x,y) aus (i) ein:
[mm] \phi(x,y) = \integral \bruch{-x}{x^2+y^2} dx + \phi_1(y) = - \bruch{1}{2}\ln(x^2+y^2) +\phi_1(y) [/mm]
Jetzt setze ich das Q(x,y) ein:
[mm] \bruch{-y}{x^2+y^2} = \bruch{\partial}{\partial y} \left( - \bruch{1}{2}\ln(x^2+y^2) +\phi_1(y) \right) = \bruch{-y}{x^2+y^2} + \phi_1'(y)[/mm]
Daraus folgt [mm] $\phi_1'(y)=0$ [/mm] oder [mm] $\phi_1(y)$ [/mm] ist konstant, ferner
[mm] \phi(x,y) = - \bruch{1}{2}\ln(x^2+y^2) [/mm] (bis auf eine additive Konstante) und [mm] $d\phi [/mm] = [mm] \psi$.
[/mm]
Also ist deine 1-Form [mm] \psi [/mm] exakt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 So 18.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
warum hast du P(x,y) = [mm] \frac{-x}{x^2+y^2} [/mm] eingesetzt?
Also, ich frag mich wo das Minus herkommt? Bei Q(x,y) genauso...?
Dann bleibt ja nur noch (iii) auf Exaktheit zu untersuchen.
Ich glaub wir hatten hier im Forum vor kurzem die Aufgabe, mit [mm] \omega [/mm] = [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2)^{-\frac{3}{2}}(xdy \wedge [/mm] dz + ydz [mm] \wedge [/mm] dx + z dx [mm] \wedge [/mm] dy). Dann war die Frage ob es eine Diffform [mm] \phi [/mm] in [mm] \IR^3 \setminus [/mm] {(0,0,0)} gibt mit [mm] d\phi [/mm] = [mm] \omega. [/mm] Da es ein solches [mm] \phi [/mm] nicht gibt, kann man doch daraus folgern, dass sie nicht exakt ist, oder?
Viele Grüße,
Riley
edit: ... achso, und in welchem der Räume liegen (ii) und (iii) ? Das check ich noch nicht so ganz...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 So 18.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hallo Rainer,
>
> warum hast du P(x,y) = [mm]\frac{-x}{x^2+y^2}[/mm] eingesetzt?
> Also, ich frag mich wo das Minus herkommt? Bei Q(x,y)
> genauso...?
EDIT:
In der Aufgabe steht doch überall ein Minus davor, das habe ich jedenfalls so gelesen. Wenn es als Aufzählungszeichen gedacht war, dann habe ich überall ein Minus zu viel. Das macht Für die Exaktheit Geschlossenheit nur bei der (iii) einen Unterschied. Wenn es ein Aufzählungszeichen ist, dann ist auch die (iii) exakt geschlossen.
>
> Dann bleibt ja nur noch (iii) auf Exaktheit zu untersuchen.
Du meinst die (iv), oder?
> Ich glaub wir hatten hier im Forum vor kurzem die Aufgabe,
> mit [mm]\omega[/mm] = [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2)^{-\frac{3}{2}}(xdy \wedge[/mm] dz
> + ydz [mm]\wedge[/mm] dx + z dx [mm]\wedge[/mm] dy). Dann war die Frage ob es
> eine Diffform [mm]\phi[/mm] in [mm]\IR^3 \setminus[/mm] {(0,0,0)} gibt mit
> [mm]d\phi[/mm] = [mm]\omega.[/mm] Da es ein solches [mm]\phi[/mm] nicht gibt, kann man
> doch daraus folgern, dass sie nicht exakt ist, oder?
Ja, wenn du nachweisen kannst, dass es eine solche Form [mm]\phi[/mm] nicht gibt, dann kann [mm]\omega[/mm] nicht exakt sein.
(du meinst diesen THread, oder?)
> Viele Grüße,
> Riley
>
> edit: ... achso, und in welchem der Räume liegen (ii) und
> (iii) ? Das check ich noch nicht so ganz...
(ii) ist nicht geschlossen, damit auch nicht exakt und liegt daher weder in [mm] $Z^1$ [/mm] noch in [mm] $B^1$. [/mm] Es ist natürlich Element des Raumes der 1-Formen auf M.
Bei (iii) gilt das Analoge.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 So 18.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
> In der Aufgabe steht doch überall ein Minus davor, das habe
> ich jedenfalls so gelesen. Wenn es als Aufzählungszeichen
> gedacht war, dann habe ich überall ein Minus zu viel. Das
> macht Für die Exaktheit nur bei der (iii) einen
> Unterschied. Wenn es ein Aufzählungszeichen ist, dann ist
> auch die (iii) exakt.
Hm, ich denke das sind Aufzählungszeichen...
Aber warum ist die (iii) exakt, ich dachte erstmal sie ist geschlossen... warum siehst du ihr das so schnell an?
> >
> > Dann bleibt ja nur noch (iii) auf Exaktheit zu untersuchen.
>
> Du meinst die (iv), oder?
Ja meinte ich, bzw wenn es aber leider keine Minus-Zeichen sind, müssen wir die (iii) ja auch noch auf Exaktheit prüfen.
> Ja, wenn du nachweisen kannst, dass es eine solche Form
> [mm]\phi[/mm] nicht gibt, dann kann [mm]\omega[/mm] nicht exakt sein.
>
> (du meinst diesen THread, oder?)
ja genau, danke fürs Verlinken!
> > edit: ... achso, und in welchem der Räume liegen (ii) und
> > (iii) ? Das check ich noch nicht so ganz...
>
> (ii) ist nicht geschlossen, damit auch nicht exakt und
> liegt daher weder in [mm]Z^1[/mm] noch in [mm]B^1[/mm]. Es ist natürlich
> Element des Raumes der 1-Formen auf M.
und da (i) geschlossen und exakt ist, ist sie sogar aus [mm] B^1, [/mm] oder?
> Bei (iii) gilt das Analoge.
Die folgenden Fragen erübrigen sich, wenn man der (iii) die Exaktheit irgendwie schneller ansehen kann...?!? *neugierig*
Also kann man dann hier mit diesem Ansatz arbeiten:
[mm] \phi [/mm] = P(x,y,z) dx + Q(x,y,z) dy + R(x,y,z) dz
und [mm] \phi [/mm] wäre exakt wenn es ein [mm] \psi [/mm] gäbe mit
P(x,y,z) = [mm] \frac{\partial \psi}{\partial x}
[/mm]
Q(x,y,z) = [mm] \frac{\partial \psi}{\partial y}
[/mm]
R(x,y,z) = [mm] \frac{\partial \psi}{\partial z}
[/mm]
Ohweij, wenn dieser Ansatz stimmt, wird das aber ganz schön kompliziert... Aber zu beweisen dass es kein so ein [mm] \psi [/mm] gibt ist wohl auch nicht einfacher...
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 So 18.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> > In der Aufgabe steht doch überall ein Minus davor, das habe
> > ich jedenfalls so gelesen. Wenn es als Aufzählungszeichen
> > gedacht war, dann habe ich überall ein Minus zu viel. Das
> > macht Für die Exaktheit nur bei der (iii) einen
> > Unterschied. Wenn es ein Aufzählungszeichen ist, dann ist
> > auch die (iii) exakt.
> Hm, ich denke das sind Aufzählungszeichen...
> Aber warum ist die (iii) exakt, ich dachte erstmal sie ist
> geschlossen... warum siehst du ihr das so schnell an?
Sorry, ich meine geschlossen. Keine Ahnung, warum ich da "exakt" geschrieben habe. Muss ich gleich mal ändern...
> > > Dann bleibt ja nur noch (iii) auf Exaktheit zu untersuchen.
> >
> > Du meinst die (iv), oder?
> Ja meinte ich, bzw wenn es aber leider keine Minus-Zeichen
> sind, müssen wir die (iii) ja auch noch auf Exaktheit
> prüfen.
>
> > Ja, wenn du nachweisen kannst, dass es eine solche Form
> > [mm]\phi[/mm] nicht gibt, dann kann [mm]\omega[/mm] nicht exakt sein.
> >
> > (du meinst diesen THread, oder?)
> ja genau, danke fürs Verlinken!
>
>
> > > edit: ... achso, und in welchem der Räume liegen (ii) und
> > > (iii) ? Das check ich noch nicht so ganz...
> >
> > (ii) ist nicht geschlossen, damit auch nicht exakt und
> > liegt daher weder in [mm]Z^1[/mm] noch in [mm]B^1[/mm]. Es ist natürlich
> > Element des Raumes der 1-Formen auf M.
> und da (i) geschlossen und exakt ist, ist sie sogar aus
> [mm]B^1,[/mm] oder?
>
> > Bei (iii) gilt das Analoge.
>
> Die folgenden Fragen erübrigen sich, wenn man der (iii) die
> Exaktheit irgendwie schneller ansehen kann...?!?
> *neugierig*
>
> Also kann man dann hier mit diesem Ansatz arbeiten:
> [mm]\phi[/mm] = P(x,y,z) dx + Q(x,y,z) dy + R(x,y,z) dz
>
> und [mm]\phi[/mm] wäre exakt wenn es ein [mm]\psi[/mm] gäbe mit
>
> P(x,y,z) = [mm]\frac{\partial \psi}{\partial x}[/mm]
>
> Q(x,y,z) = [mm]\frac{\partial \psi}{\partial y}[/mm]
>
> R(x,y,z) = [mm]\frac{\partial \psi}{\partial z}[/mm]
Das ist zwar richtig, aber nicht das, was du zeigen willst. Du willst zeigen, dass [mm] $d\phi=\psi$ [/mm] ist, mit dem [mm] $\psi$ [/mm] aus (iii). Also:
[mm] \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{x}{x^2+y^2+z^2} [/mm],
[mm] \frac{\partial R}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial z} = x [/mm],
[mm] \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x} = y - \frac{z}{x^2+y^2+z^2} [/mm].
Ich habe da ein bischen geraten: ich vermute mal, dass in der ersten Gleichung nur Q beiträgt, also P=0 ist, dann kann man die ersten beiden Gleichungen versuchen zu integrieren und kommt schließlich auf
[mm] Q= \bruch{1}{2}\ln(x^2+y^2+z^2)[/mm], [mm] R= \bruch{1}{2} (x^2+y^2) [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:48 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
vielen besten Dank für die Erklärungen - so gezielt raten haut bei mir meist daneben...
Viele Grüße,
Riley
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:40 So 18.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hi,
sorry, nochmal eine Frage. Ich hab (iii) nun auch mal gerechnet und komme aber auf folgendes:
d [mm] \wedge \phi [/mm] = [mm] (\frac{\partial}{\partial x} [/mm] dx + [mm] \frac{\partial}{\partial y} [/mm] dy + [mm] \frac{\partial}{\partial z} [/mm] dz ) [mm] \wedge \phi
[/mm]
= [mm] \frac{\partial}{\partial x} [/mm] ( y - [mm] \frac{z}{x^2 + y^2 + z^2}) [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dy [mm] \wedge [/mm] dz + [mm] \frac{\partial}{\partial y} [/mm] x dy [mm] \wedge [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dz + [mm] \frac{\partial }{\partial z} (\frac{x}{x^2+y^2+z^2}) [/mm] dz [mm] \wedge [/mm] dy [mm] \wedge [/mm] dy = *
Es gilt
[mm] \frac{\partial}{\partial x} [/mm] (y - [mm] z(x^2+y^2+z^2)^{-1}) [/mm] = [mm] \frac{2xz}{(x^2+y^2+z^2)^2}
[/mm]
[mm] \frac{\partial}{\partial y} [/mm] = 0
[mm] \frac{\partial}{\partial z} (\frac{x}{x^2+y^2+z^2}) [/mm] = - [mm] \frac{2xz}{(x^2+y^2+z^2)^2}
[/mm]
Damit wäre dann
* = [mm] \frac{2xz}{(x^2+y^2+z^2)^2} [/mm] (dx [mm] \wedge [/mm] dy [mm] \wedge [/mm] dz - dz [mm] \wedge [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dy) = 0, da wir ja zweimal tauschen um dx [mm] \wedge [/mm] dy [mm] \wedge [/mm] dz zu erhalten.
Hm, dann komm ich nun auch auf 0 wie kittycat - hab ich mich irgendwo verrechnet, oder du Rainer?
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Do 22.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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