Differentialform und Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Wiesel20 |
| Aufgabe | Sei U Teilmenge R3. Betrachten Sie differenzierbare Funktionen f, g auf U und differenzierbare
Vektorfelder a, b : U ! R3. Diesen Daten können wir wie folgt Differentialformen zuordnen:
0-Form f,
1-Form n = a1 dx1 + a2 dx2 + a3 dx3,
2-Form phi= b1 dx2 ^ dx3 + b2 dx3 ^ dx1 + b3 dx1 ^ dx2,
3-Form w = g dx1 ^ dx2 ^ dx3.
Berechnen Sie df, dn, dphi , dw und interpretieren Sie das Ergebnis wieder als Vektorfeld
bzw. als Funktion. Welche Differentialoperatoren (grad, rot, div, Laplace) für Funktionen und
Vektorfelder erhalten Sie dadurch? Wie lässt sich damit d2 = 0 interpretieren? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mir ist leider nicht klar, wie ich mit Differentialformen und äusseren Ableitungen zu rechnen habe. Mein Ansatz für dn:
dn=da1^dx^+da2^dx2+da3^dx3=
da1/dx2*dx2^dx1+da/dx3*dx2^dx1
+da2/dx1*dx1^dx2+da2/dx3*dx3^dx2
+da3/dx1*dx1^dx3+da37dx2*dx2^dx3
=0, weil jeweils dai abgeleitet nach daj für i ungleich j null ergibt.
Ist das so korrekt?
Als zweites habe ich mich dem dphi zugewandt, und bin vollends gescheitert.
dphi=d(b1*dx2^dx3)+d(b2*dx3^dx1)+d(b3*dx1^dx2)
Ich betrachte nur die erste Klammer: Was wird daraus?
gilt d(b1*dx2^dx3)=db1^dx2^dx3 oder gilt
d(b1*dx2^dx3)=db1^dx2^ddx3=0
Wie sind hier die Regeln?
Leider habe ich bisher nirgendwo eine vollständige Auflistung der Regeln finden können.
Ich hoffe, ihr könnt mir da helfen.
Danke im Vorraus, Wiesel20
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Hallo Wiesel20,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei U Teilmenge R3. Betrachten Sie differenzierbare
> Funktionen f, g auf U und differenzierbare
> Vektorfelder a, b : U ! R3. Diesen Daten können wir wie
> folgt Differentialformen zuordnen:
> 0-Form f,
> 1-Form n = a1 dx1 + a2 dx2 + a3 dx3,
> 2-Form phi= b1 dx2 ^ dx3 + b2 dx3 ^ dx1 + b3 dx1 ^ dx2,
> 3-Form w = g dx1 ^ dx2 ^ dx3.
> Berechnen Sie df, dn, dphi , dw und interpretieren Sie das
> Ergebnis wieder als Vektorfeld
> bzw. als Funktion. Welche Differentialoperatoren (grad,
> rot, div, Laplace) für Funktionen und
> Vektorfelder erhalten Sie dadurch? Wie lässt sich damit d2
> = 0 interpretieren?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Mir ist leider nicht klar, wie ich mit Differentialformen
> und äusseren Ableitungen zu rechnen habe. Mein Ansatz für
> dn:
>
> dn=da1^dx^+da2^dx2+da3^dx3=
> da1/dx2*dx2^dx1+da/dx3*dx2^dx1
> +da2/dx1*dx1^dx2+da2/dx3*dx3^dx2
> +da3/dx1*dx1^dx3+da37dx2*dx2^dx3
[mm]dn=da1\wedge \ dx1+da2\wedge \ dx2+da3\wedge \ dx3[/mm]
[mm]=\bruch{\partial a1}{\partial x2} \ dx2\wedge dx1+\bruch{\partial a1}{\partial x3} \ dx3\wedge dx1[/mm]
[mm] +\bruch{\partial a2}{\partial x1} \ dx1\wedge dx2+\bruch{\partial a2}{\partial x3} \ dx3\wedge dx2[/mm]
[mm]+\bruch{\partial a3}{\partial x1} \ dx1\wedge dx3+\bruch{\partial a3}{\partial x2} \ dx2\wedge dx3[/mm]
> =0, weil jeweils dai abgeleitet nach daj für i ungleich j
> null ergibt.
Es gilt die symmetrische Vertauschungsregel:
[mm]d\omega_{1} \wedge d\omega_{2}=-d\omega_{2} \wedge d\omega_{1}[/mm]
,wobei [mm]\omega_{1}, \ \omega_{2}[/mm] zwei gegebene Differentialformen sind.
> Ist das so korrekt?
>
> Als zweites habe ich mich dem dphi zugewandt, und bin
> vollends gescheitert.
>
> dphi=d(b1*dx2^dx3)+d(b2*dx3^dx1)+d(b3*dx1^dx2)
>
> Ich betrachte nur die erste Klammer: Was wird daraus?
Daraus wird
[mm]dphi = db1 \wedge dx2 \wedge dx3 + db2 \wedge dx3 \wedge dx1 + db3 \wedge dx1 \wedge dx2[/mm]
>
> gilt d(b1*dx2^dx3)=db1^dx2^dx3 oder gilt
> d(b1*dx2^dx3)=db1^dx2^ddx3=0
> Wie sind hier die Regeln?
Ist [mm]\omega=\summe_{j=1}^{n}f_{j} \ dx_{j}[/mm] eine 1-Form
so gilt für die äußere Ableitung:
[mm]d \wedge \omega =\left(\bruch{\partial}{\partial x_{1}}x_{1}+ \dots + \bruch{\partial}{\partial x_{n}}x_{n}\right) } \wedge \omega[/mm]
[mm]=\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1, k\not=j}^{n}\bruch{\partial f_{j}}{\partial x_{k}} \ dx_{k} \wedge dx_{j}=\summe_{j=1}^{n}df_{j} \wedge dx_{j}[/mm]
> Leider habe ich bisher nirgendwo eine vollständige
> Auflistung der Regeln finden können.
> Ich hoffe, ihr könnt mir da helfen.
> Danke im Vorraus, Wiesel20
Gruß
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