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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Fr 25.01.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Frage1)
Eine 1 Form hat die Gestalt [mm] \omega [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^n f_j dx_j [/mm] , wobei die Koeffizienten [mm] f_j [/mm] stetige Funktionen sind.
Sei F die Stammfunktion von [mm] \omega [/mm] d.h. [mm] \omega [/mm] = dF
Ist dann F Stammfunktion von [mm] \omega [/mm] ( [mm] \omega=dF) [/mm] <=> [mm] F_j [/mm] Stammfunktion von [mm] f_j [/mm] im Sinne von Analysis 1?
2 Frage)
1 Form : [mm] \omega [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^n f_j dx_j [/mm] sei exakt mit denKoeffizienten-Vektor [mm] (f_1,..,f_n)^T [/mm] : U -> [mm] \IR^n
[/mm]
<=> [mm] \exists [/mm] F: U-> [mm] \IR [/mm] mit [mm] \sum_{j=1}^n D_j [/mm] F [mm] dx_j [/mm] = dF = [mm] \omega [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^n f_j dx_j [/mm]
Folgt dann [mm] (f_1,.., f_n)^T [/mm] Gradientenfeld <=> [mm] \omega [/mm] ist exakt |
Hallo
Die Differentialform in Verbindung mit Wegintegral/Gradientenfeld/Stammfunktion machen mir noch Sorgen. Ich bitte euch mich zu korregieren, da ich bez. des Themas noch unsicher bin .
LG
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Hallo sissile,
> Frage1)
> Eine 1 Form hat die Gestalt [mm]\omega[/mm] = [mm]\sum_{j=1}^n f_j dx_j[/mm]
> , wobei die Koeffizienten [mm]f_j[/mm] stetige Funktionen sind.
> Sei F die Stammfunktion von [mm]\omega[/mm] d.h. [mm]\omega[/mm] = dF
> Ist dann F Stammfunktion von [mm]\omega[/mm] ( [mm]\omega=dF)[/mm] <=> [mm]F_j[/mm]
> Stammfunktion von [mm]f_j[/mm] im Sinne von Analysis 1?
>
Ja.
> 2 Frage)
> 1 Form : [mm]\omega[/mm] = [mm]\sum_{j=1}^n f_j dx_j[/mm] sei exakt mit
> denKoeffizienten-Vektor [mm](f_1,..,f_n)^T[/mm] : U -> [mm]\IR^n[/mm]
> <=> [mm]\exists[/mm] F: U-> [mm]\IR[/mm] mit [mm]\sum_{j=1}^n D_j[/mm] F [mm]dx_j[/mm] = dF =
> [mm]\omega[/mm] = [mm]\sum_{j=1}^n f_j dx_j[/mm]
> Folgt dann [mm](f_1,.., f_n)^T[/mm] Gradientenfeld <=> [mm]\omega[/mm] ist
> exakt
Auch das ist richtig.
> Hallo
> Die Differentialform in Verbindung mit
> Wegintegral/Gradientenfeld/Stammfunktion machen mir noch
> Sorgen. Ich bitte euch mich zu korregieren, da ich bez. des
> Themas noch unsicher bin .
>
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Fr 25.01.2013 | | Autor: | sissile |
Schön, dann hab ich das eingermaßen richtigverstanden.
Noch eine Frage:
1 Form: $ [mm] \omega [/mm] $ = $ [mm] \sum_{j=1}^n f_j dx_j [/mm] $
Wenn ich einen geschlossenen Weg [mm] \gamma:[a,b] [/mm] -> [mm] \IR [/mm] finde sodass das Kurvenintegral über den Weg [mm] \gamma [/mm] : [mm] \int \omega.ds \not= [/mm] 0 folgt dann daraus dass [mm] \omega [/mm] keine Stammform auf [mm] \IR [/mm] besitzt und somit [mm] (f_1,..,f_n)^t [/mm] kein Gradientenfeld ist?
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Hallo sissile,
> Schön, dann hab ich das eingermaßen richtigverstanden.
>
> Noch eine Frage:
> 1 Form: [mm]\omega[/mm] = [mm]\sum_{j=1}^n f_j dx_j[/mm]
> Wenn ich einen geschlossenen Weg [mm]\gamma:[a,b][/mm] -> [mm]\IR[/mm] finde
> sodass das Kurvenintegral über den Weg [mm]\gamma[/mm] : [mm]\int \omega.ds \not=[/mm]
> 0 folgt dann daraus dass [mm]\omega[/mm] keine Stammform auf [mm]\IR[/mm]
> besitzt und somit [mm](f_1,..,f_n)^t[/mm] kein Gradientenfeld ist?
Du findest aber keinen geschlossenen Weg, so daß
[mm]\int_{\gamma} \omega \ ds \not=0[/mm]
falls [mm]\omega[/mm] exakt ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Fr 25.01.2013 | | Autor: | sissile |
Ja schon klar, aber wenn [mm] \omega [/mm] nicht exakt ist, stimmt das was ich geschrieben habe=?
Danke,lg
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Hallo sissile,
> Ja schon klar, aber wenn [mm]\omega[/mm] nicht exakt ist, stimmt das
> was ich geschrieben habe=?
>
Ja.
> Danke,lg
Gruss
MathePower
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