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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Sa 14.12.2013 | | Autor: | Mathics |
Hallo,
In der Vorlesung haben wir gelernt, dass [mm] \bruch{df}{dx} [/mm] bedeutet, dass man die Funktion f nach x ableiten muss.
df bedeutet ja - wenn man sich eine Tangente vorstellt - quasi den Anteil des linearen Zuwachses der Variable f. und dx den linearen Zuwachs von x.
Wieso gilt aber, dass das was im Nenner steht, die Variable vorgibt, nach der man das obere ableitet?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Sa 14.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Der Nenner gibt nicht nur an nach welche Variable man ableitet, sondern auch welche festgehalten werden. Merkst du, wenn du nach mehreren Variablen ableitest. So ist es definiert.
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Sa 14.12.2013 | | Autor: | Mathics |
Okey, also reicht es aus, das so als Definition hinzunehmen, oder?
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Hallo,
naja, das ganze Thema ist ein bisschen speziell ;)
Was man sich merken sollte: Für Ableitungen gibt es verschiedene Schreibweisen. Eine sehr praktische ist eben die folgende:
[mm] \frac{df}{dx}\equiv\frac{d}{dx}f
[/mm]
Weiter existiert aber bekanntlich auch
- $f'(x)$ (sofern es nur eine Variable gibt)
- $d_xf$ (selten genutzt)
- [mm] $\partial_xf$ [/mm] (für partielle Ableitung)
Warum benutzt man nun recht oft diese Form: [mm] \frac{d}{dx}?
[/mm]
Ganz einfach: Sie ist praktisch! Du darfst die Schreibweise nicht als Bruch auffassen, denn es ist kein Bruch. Du teilst $df$ nicht durch $dx$. Es ist reine Symbolik. Mein Prof sagte dazu einmal:
"Sie müssen das als Symbol akzeptieren. Schließlich gilt ja auch nicht:
[mm] \frac{44}{14}=\frac{4}{1}=4
[/mm]
Denn 44 ist auch ein Symbol und 14 genauso."
Der Witz ist nun: Das ganze Verhält sich aber wie in Bruch. Und man kann durchaus wild herumkürzen. Was man aber tun muss ist zu wissen, warum man dies überhaupt machen kann.
Ich gebe dir dazu mal ein Beispiel, warum es sich lohnt diese Schreibweise zu benutzen.
Seien [mm] f:X\to{Y} [/mm] und [mm] g:Y\to{Z} [/mm] zwei Funktionen. Diese seien diffbar. Oder sagen wir gleich: Sie sollen für unsere Zwecke hinreichend lieb und nett sein.
Wir definieren [mm] $h:X\to{Z},\ [/mm] h(x)=g(f(x))$.
Wir wollen nun h differenzieren.
[mm] \frac{dh}{dx}=\frac{dh}{dx}\cdot\frac{df}{df}=\frac{dh}{df}\cdot\frac{df}{dx}
[/mm]
Kommt dir das bekannt vor? Es sollte dich an die Kettenregel erinnern. Dieses Kalkül ist also sehr nützlich für Berechnungen. Man darf eben nicht vergessen, dass diese "Herleitung" (!Anführungsstriche beachten!) rein symbolisch erfolgt und eigentlich gar keine mathematische Begründung benutzt.
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