Differentation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Mi 08.06.2011 | | Autor: | Somusa |
| Aufgabe | | Sei [mm] $f:\IR^{n}/\{0\}\to\IR$ [/mm] diffbar und es gilt [mm] $f(rx)=r^{k}f(x)$ [/mm] für [mm] $k\in\IN$ ,$r\in\IR_{+}$ [/mm] und [mm] $x\in\IR^{n}/\{0\}$ [/mm] Beweisen Sie: $Df(x)*x=k*f(x)$ |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
diese Aufgabe bereitet mir etwas Kopfzerbrechen.
Nach Produktregel folgt:
$f'(x)*x+f(x)=k*f(x)$
Für [mm] $x\to f(x)=x^{k-1}$ [/mm] ist dies nun einfach, aber dies ist ja nicht gefragt.
Außerdem befinden wir uns ja auch im [mm] $\IR^{n}$.
[/mm]
Ich weiß nun nicht wie ich die Vorraussetzung [mm] $f(rx)=r^{k}f(x)$ [/mm] einbauen kann.
Danke schonmal für die Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Mi 08.06.2011 | | Autor: | uliweil |
Hallo Somusa,
bei Aufgaben dieser Art muß man, wenn man nicht viel Übung hat, streng auf formale Korrektheit achten, ich meine Aufgaben der Differentation in mehrdimensionalen Räumen, bei der auch noch die Kettenregel (nicht die Produktregel!) gebraucht wird. Insbesondere bei der Kettenregel ist die Notation streng zu beachten, da ja die "äußere" Ableitung an einer Stelle der inneren Funktion genommen wird. Schluß der Theoretisiererei!
Versuche mal folgenden Weg:
Laß auf den gegebenen Zusammenhang [mm] f(rx)=r^{k}f(x) [/mm] das "D" los, berechne D f(x) (als Jakobimatrix) und multipliziere mit x (das eine ist eine 1xn-Matrix, das andere ein n-Vektor, das Ergebnis ist also eine relle Zahl, ganz exakt eine 1x1 - Matrix).
Und das soll jetzt gleich k f(x) sein?
Wenn man jetzt [mm] f(rx)=r^{k}f(x) [/mm] so betrachtet, kann man auch auf die Idee kommen eine andere Differentation darauf loszulassen ...
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 Mi 08.06.2011 | | Autor: | Somusa |
Hi, danke für die schnelle Antwort!
Das ganze mithilfe der Jacobimatrix zu betrachten macht jetzt wo du es erwähnt hast durchaus sinn.
> Laß auf den gegebenen Zusammenhang [mm]f(rx)=r^{k}f(x)[/mm] das "D"
> los
Die Jacobimatrizen sehen bei mir folgendermaßen aus:
[mm] $\pmat{\bruch{\partial f(rx)}{\partial x_{1}}& ... & \bruch{\partial f(rx)}{\partial x_{n}}}=\pmat{\bruch{\partial r^{k}f(x)}{\partial x_{1}}& ... & \bruch{\partial r^{k} f(x)}{\partial x_{n}}}
[/mm]
> berechne D f(x) (als Jakobimatrix) und multipliziere
> mit x (das eine ist eine 1xn-Matrix, das andere ein
> n-Vektor, das Ergebnis ist also eine relle Zahl, ganz exakt
> eine 1x1 - Matrix).
Das wäre dann ja:
[mm] $(\bruch{\partial f(x)*\vec{x}}{\partial x_{1}}+ [/mm] .... )$
> Und das soll jetzt gleich k f(x) sein?
> Wenn man jetzt [mm]f(rx)=r^{k}f(x)[/mm] so betrachtet, kann man
> auch auf die Idee kommen eine andere Differentation darauf
> loszulassen ...
Inwiefern andere Differentation? Steh hier leider auf dem Schlauch was du damit meinst.
Viele Dank schonmal für deine Mühen.
Gruss
Somusa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:11 Do 09.06.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
differenziere die Identität [mm] f(r*\vec x)=r^k*f(\vec{x}) [/mm] nach r und setzte anschließend r=1.
Übrigens findest Du Material dazu unter dem Begriff homogene Funktionen im Internet, z.B.
![[]](/images/popup.gif) hier
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:45 Do 09.06.2011 | | Autor: | Somusa |
> Hi,
>
> differenziere die Identität [mm]f(r*\vec x)=r^k*f(\vec{x})[/mm]
> nach r und setzte anschließend r=1.
>
> Übrigens findest Du Material dazu unter dem Begriff
> homogene Funktionen im Internet, z.B.
>
> hier
>
>
Dankeschön, nun hab ich es verstanden. Danke für deine Hilfe!
Gruss Somusa
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