Diffeomorphismus < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Fr 18.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | | Sei f: [mm] IR^2 [/mm] --> [mm] IR^2 [/mm] gegeben durch [mm] f(x,y)=(x^3+xy+1, x+y+y^3+1). [/mm] Zeige, dass eine Umgebung U von (-1,2) und eine Umgebung V von (-2,10) existieren, so dass [mm] g=f_U [/mm] (d.h. f eingeschränkt auf U) ein [mm] C^{\infty}-Diffeomorphismus [/mm] von U auf V ist. Berechne [mm] Dg^{-1} [/mm] (-2,10). |
Ich denke, man muss den Satz über die lokale [mm] C^k-Invertierbarkeit [/mm] anwenden. Es ist f: [mm] IR^2 [/mm] --> [mm] IR^2 \in C^k [/mm] (klar). Außerdem ist f((-1,2))=(2,10).
Die Jacobi Matrix lautet [mm] \pmat{ 3x^2+y & x \\ 1 & 1+3y^2 }. [/mm] Ausgewertet im Punkt (-1,2): [mm] \pmat{ 5 & -1 \\ 1 & 13}. [/mm] Insbesondere ist det [mm] J_f [/mm] (-1,2) ungleich 0. Damit ist f'(-1,2) invertierbar. Mit dem Satz über die lokale Umkehrbarkeit existieren nun offene Umgebungen U von (-1,2) und V von (-2,10), sodass f: U --> V [mm] C^k [/mm] -invertierbar ist. In diesem Fall gilt für g=(f: U --> [mm] V)^{-1}, [/mm] dass [mm] Dg^{-1} [/mm] (-2,10) = Df(-1,2) = [mm] \pmat{ 5 & -1 \\ 1 & 13}. [/mm]
Ist das so ok? Und wie zeige ich jetzt noch den Diffeomorphismus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Sa 19.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Was meint ihr dazu?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:05 So 20.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm]IR^2[/mm] --> [mm]IR^2[/mm] gegeben durch [mm]f(x,y)=(x^3+xy+1, x+y+y^3+1).[/mm]
> Zeige, dass eine Umgebung U von (-1,2) und eine Umgebung V
> von (-2,10) existieren, so dass [mm]g=f_U[/mm] (d.h. f
> eingeschränkt auf U) ein [mm]C^{\infty}-Diffeomorphismus[/mm] von U
> auf V ist. Berechne [mm]Dg^{-1}[/mm] (-2,10).
>
> Ich denke, man muss den Satz über die lokale
> [mm]C^k-Invertierbarkeit[/mm] anwenden. Es ist f: [mm]IR^2[/mm] --> [mm]IR^2 \in C^k[/mm]
> (klar). Außerdem ist f((-1,2))=(2,10).
> Die Jacobi Matrix lautet [mm]\pmat{ 3x^2+y & x \\ 1 & 1+3y^2 }.[/mm]
> Ausgewertet im Punkt (-1,2): [mm]\pmat{ 5 & -1 \\ 1 & 13}.[/mm]
> Insbesondere ist det [mm]J_f[/mm] (-1,2) ungleich 0.
> Damit ist f'(-1,2) invertierbar.
Ja
>Mit dem Satz über die lokale
> Umkehrbarkeit existieren nun offene Umgebungen U von (-1,2)
> und V von (-2,10), sodass f: U --> V [mm]C^k[/mm] -invertierbar ist.
Ja
> In diesem Fall gilt für g=(f: U --> [mm]V)^{-1},[/mm] dass [mm]Dg^{-1}[/mm]
> (-2,10) = Df(-1,2) = [mm]\pmat{ 5 & -1 \\ 1 & 13}.[/mm]
Nein. Es ist
[mm] Dg^{-1}= Df(-1,2)^{-1}=\pmat{ 5 & -1 \\ 1 & 13}^{-1}
[/mm]
>
> Ist das so ok? Und wie zeige ich jetzt noch den
> Diffeomorphismus?
Der von Dir oben zitierte Satz sagt doch u.a.:
ist g k-mal stetig differenzierbar, so auch [mm] g^{-1}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 So 20.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Das würde ja bedeuten, dass damit schon gezeigt ist, dass g ein Diffeomorphismus ist, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 So 20.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Das würde ja bedeuten, dass damit schon gezeigt ist, dass
> g ein Diffeomorphismus ist, oder?
Ja
FRED
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