Diffeomorphismen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es seien [mm] $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^m$ [/mm] ein Diffeomorphismus, [mm] g:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^m$ [/mm] eine [mm] $\mathcal{C}^1$ [/mm] -Abbildung mit beschränktem Träger.
Dann gibt es ein [mm] $\varepsilon_0>0$, [/mm] so dass [mm] $f+\varepsilon g:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^m$ [/mm] für alle [mm] $\varepsilon\in(-\varepsilon_0,\varepsilon_0)$ [/mm] ebenfalls ein Deffeomorphismus ist.
Hinweis: Man betrachte die Funktion [mm] $h:=I+f^{-1}\circ (\varepsilon [/mm] g)$ |
Guten Tag,
ich bearbeite gerade diese Aufgabe, die die Stabilität der Menge der Diffeomorphismen bzgl. kleiner Störungen zeigen soll und komme leider nicht weiter.
Was ich mir bis jetzt überlegt habe:
Für [mm] $x_0\in\mathbb{R}^m\backslash [/mm] supp(g)$ gilt:
[mm] $f(x_0)+\varepsilon g(x_0)=f(x_0)$, [/mm] diffeomorph auf [mm] $\mathbb{R}^m\backslash [/mm] supp(g)$.
Jedoch weiß ich nicht, wie ich weiter machen soll und auch nicht, wie ich den Hinweis mit der Funktion mit [mm] $h(x)=x+f^{-1}(g(x))$ [/mm] verwenden soll.
Ich muss ja zeigen, dass [mm] $f+\varepsilon [/mm] g$ 1. bijektiv 2. stet. diffbar und 3. [mm] (f+\varepsilon g)^{-1} [/mm] stet. diffb. ist.
Würde mich sehr über Hilfe freuen.
Vielen Dank
DudiPupan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Do 04.07.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es seien [mm]$f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^m$[/mm] ein
> Diffeomorphismus, [mm]g:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^m$[/mm] eine
> [mm]$\mathcal{C}^1$[/mm] -Abbildung mit beschränktem Träger.
> Dann gibt es ein [mm]\varepsilon_0>0[/mm], so dass [mm]f+\varepsilon g:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^m[/mm]
> für alle [mm]\varepsilon\in(-\varepsilon_0,\varepsilon_0)[/mm]
> ebenfalls ein Deffeomorphismus ist.
>
> Hinweis: Man betrachte die Funktion [mm]h:=I+f^{-1}\circ (\varepsilon g)[/mm]
>
>
> Guten Tag,
>
> ich bearbeite gerade diese Aufgabe, die die Stabilität der
> Menge der Diffeomorphismen bzgl. kleiner Störungen zeigen
> soll und komme leider nicht weiter.
>
> Was ich mir bis jetzt überlegt habe:
>
> Für [mm]x_0\in\mathbb{R}^m\backslash supp(g)[/mm] gilt:
> [mm]f(x_0)+\varepsilon g(x_0)=f(x_0)[/mm], diffeomorph auf
> [mm]\mathbb{R}^m\backslash supp(g)[/mm].
>
> Jedoch weiß ich nicht, wie ich weiter machen soll und auch
> nicht, wie ich den Hinweis mit der Funktion mit
> [mm]h(x)=x+f^{-1}(g(x))[/mm] verwenden soll.
Tipp: [mm] $f+\varepsilon [/mm] g = [mm] f\circ [/mm] h$, und $f$ ist bereits eine Diffeomorphismus, daher reicht es zu zeigen, dass $h$ ein Diffeomorphismus ist.
> Ich muss ja zeigen, dass [mm]f+\varepsilon g[/mm] 1. bijektiv 2.
> stet. diffbar und 3. [mm](f+\varepsilon g)^{-1}[/mm] stet. diffb.
> ist.
Stet. Diff'barkeit ist ja schon laut Voraussetzung gegeben.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 06.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
