Diffeomorohiesatz, Umkehrsatz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Fr 24.10.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | | Sei [mm] U:=\left\{x\in\IR^n\;|\;||x||<1\right\}=B_1(0), [/mm] und [mm] f:U\to\IR^n [/mm] sei definiert durch [mm] f(x):=\bruch{x}{1-\left\langle\;x,x\right\rangle}. [/mm] Zeige, dass f ein [mm] C^\infty-Diffeomorohismus [/mm] ist. (Tip: Leicht für f eingeschränkt auf [mm] B_1(0)\backslash \left\{0\right\}) [/mm] |
Es ist ja klar, dass [mm] f\in\;C^\infty(U,\IR^n) [/mm] mit U offen nach Def. und [mm] \IR^n [/mm] offen, da f eine Komposition von [mm] C^\infty [/mm] Funktionen ist.
Jetzt muss ich glaube ich nach dem Diffeomorphiesatz noch zeigen, dass f bijektiv ist und dass df(a) invertierbar für alle [mm] a\in [/mm] D. Dafür muss ich ja erstmal die Jakobimatrix aufstellen. Aber wie leite ich die Funktion ab? Bin mir bei dem Skalarprodukt nicht sicher, wie das geht. Und wie zeige ich die Bijektivität?
Ich denke, dass man dann erhält, dass df(x) in [mm] a=0\in\;D [/mm] nicht invertierbar ist. Diese Stelle nimmt man dann zunächst raus, und kann mit dem Umkehrsatz, wie im Tip angegeben, zeigen, dass f in 0 lokaler [mm] C^\infty-Diffeomorphismus [/mm] ist, da det [mm] J_f(0)\not=0. [/mm] Aber wie gesagt, ich brauche die Jakobimatrix!
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Fr 24.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich schreibe Dir die Funktion im Falle n=2 mal ausführlich auf:
[mm] f(x_1,x_2) [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{x_1}{1-(x_1^2+x_2^2)} \\ \bruch{x_2}{1-(x_1^2+x_2^2)}}
[/mm]
Kannst Du hiervon die jacobi - Matrix berechnen ?
Im allgemeinen Fall machst Du es genauso
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:23 Sa 25.10.2008 | | Autor: | side |
Ok, ich hab dann mal die Jakobimatrix für n=2 berechnet. Sieht diese so aus???:
[mm] \pmat{ \bruch{1+x_1^2-x_2^2}{(1-x_1^2-x_2^2)^2} & \bruch{2x_1x_2}{(1-x_1^2-x_2^2)^2} \\ \bruch{2x_1x_2}{(1-x_1^2-x_2^2)^2} & \bruch{1+x_2^2-x_1^2}{(1-x_1^2-x_2^2)^2} }
[/mm]
Puh, aber wie sieht diese jetzt für n beliebig aus....naja, ich werd mir dazu mal gedanken machen....was mir immernoch fehlt, ist, wie ich zeige, dass f bijektiv ist...wäre super, wenn ich da noch nen tip bekomme...
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:12 So 26.10.2008 | | Autor: | side |
Hab jetzt glaube ich die Jacobimatrix hinbekommen, es ist natrülich umständlich, diese hier aufzuschreiben...ich hab deshalb mal versucht, die EInträge so zu definieren:
[mm] a_{ij}=\begin{cases} \bruch{1+2x_i^2-(\summe_{k=1}^{n}x_k^2)}{(1-\summe_{k=1}^{n}x_k^2)^2}, & \mbox{für } i=j \\ \bruch{2x_ix_j}{(1-\summe_{k=1}^{n}x_k^2)^2}, & \mbox{für } i\not=j \end{cases}.
[/mm]
Kommt das hin? Jetzt hab ich nur folgendes Problem: Ich will ja zeigen, dass f ein Diffeom. ist. Dazu muss ich doch jetzt eigendlich noch zeigen (nach dem Umkehrsatz) dass Determinante von [mm] J_f(x)\not=0 [/mm] für alle x. Das ist aber nicht besonders einfach, da die Determinanten hier ziehmlich unübersichtlich ist, oder?
Auch der Diffeomorphiesatz bringt mich im Moment noch nciht weiter, da ich dazu zeigen müsste, dass die Matrix invertierbar ist...auch das ist recht schwer, oder?
Hat jemand nen Tip für mich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Di 28.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Di 28.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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