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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion [mm] f:\IR \to \IR
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} x+x^2, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \end{cases}
[/mm]
[Eigentlich steht dort: [mm] x+x^2 [/mm] falls [mm] x\in\IQ [/mm] und x falls [mm] x\not\in\IQ [/mm] aber das ist ja mit obigen gleichbedeutend]
in b=0 diffbar ist, und nur dort differenzierbar ist. |
Als erstes habe ich mal gezeigt, die Funktion ist an der Stelle b=0 diffbar.
Sei also b=0, und [mm] b\in\IQ [/mm] dann gilt:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+0)-f(0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h+h^2}{h} =\limes_{h\rightarrow 0} [/mm] 1+h= 1.
Als nächstes sei b=0 und [mm] b\not\in\IQ, [/mm] dann gilt:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+0)-f(0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h}{h} [/mm] = 1
Also ist die Funktion f diffbar in b=0, mit f´(0) = 1.
Rückfrage: Muss ich hier beides berechnen, also einmal für [mm] b\not\in\IQ [/mm] und einmal für [mm] b\in\IQ [/mm] ?
Eigentlich ist b, ja als rationale Zahl darstellbar z.B. [mm] \bruch{0}{4}, [/mm] allerdings war ich mir unsicher ob man b wirklich dazu zählt. Deswegen habe ich mal beides gemacht.
Nun ist noch zu zeigen, für [mm] b\not=0, [/mm] ist f nicht diffbar.
Als erstes dachte ich mir, dass ich das ganze vll. auch über Stetigkeit zeigen könnte, denn es gilt ja
f unstetig [mm] \Rightarrow [/mm] f nicht diffbar.
Da f aber als Komposition stetiger funktionen stetig ist, und in 0 diffbar ist f auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig, sodass ich den gedanken ganz schnell habe fallen lassen.
Also zeige ich nun, dass
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+b)-f(b)}{h} [/mm] nicht existiert.
Sei dazu [mm] b\not=0, [/mm] und [mm] b\not\in\IQ, [/mm] dann gilt:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+b)-f(b)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h+b-b}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h}{h}=1.
[/mm]
Sei nun [mm] b\not=0, [/mm] und [mm] b\in\IQ, [/mm] dann gilt:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+b)-f(b)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h+b+(h+b)^2-b+b^2}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h+b+h^2+2hb+b^2-(b+b^2)}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h+h^2+2hb}{h} =\limes_{h\rightarrow 0} [/mm] 1+h+2b=1+0+2b=1+2b
Also stimmen die beiden grenzwerte nicht überein und die Funktion ist nicht diffbar (außer für b=0).
Rückfrage hierzu:
Wenn
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+b)-f(b)}{h}=\infty [/mm] für eins der beiden gelten würde, dann würde das ausreichen um zu sagen die Funktion ist nicht diffbar oder ?
Oder muss man auch hier immer beides überprüfen ?
Mfg. Hellsing :)
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> Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]f:\IR \to \IR[/mm]
>
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x+x^2, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \end{cases}[/mm]
>
> [Eigentlich steht dort: [mm]x+x^2[/mm] falls [mm]x\in\IQ[/mm] und x falls
> [mm]x\not\in\IQ[/mm] aber das ist ja mit obigen gleichbedeutend]
>
> in b=0 diffbar ist, und nur dort differenzierbar ist.
> Als erstes habe ich mal gezeigt, die Funktion ist an der
> Stelle b=0 diffbar.
>
> Sei also b=0, und [mm]b\in\IQ[/mm] dann gilt:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+0)-f(0)}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h+h^2}{h} =\limes_{h\rightarrow 0}[/mm]
> 1+h= 1.
>
> Als nächstes sei b=0 und [mm]b\not\in\IQ,[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Sorry, aber mir ist nur diese Zeile in deinem "Beweis"
aufgefallen - und da bin ich so erschrocken, dass ich
mir vor Schreck fast selber ins Ohr gebissen habe ...
> dann gilt:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+0)-f(0)}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h}{h}[/mm] = 1
>
> Also ist die Funktion f diffbar in b=0, mit f´(0) = 1.
>
> Rückfrage: Muss ich hier beides berechnen, also einmal
> für [mm]b\not\in\IQ[/mm] und einmal für [mm]b\in\IQ[/mm] ?
> Eigentlich ist b, ja als rationale Zahl darstellbar z.B.
> [mm]\bruch{0}{4},[/mm] allerdings war ich mir unsicher ob man b
> wirklich dazu zählt. Deswegen habe ich mal beides
> gemacht.
>
> Nun ist noch zu zeigen, für [mm]b\not=0,[/mm] ist f nicht diffbar.
>
> Als erstes dachte ich mir, dass ich das ganze vll. auch
> über Stetigkeit zeigen könnte, denn es gilt ja
>
> f unstetig [mm]\Rightarrow[/mm] f nicht diffbar.
>
> Da f aber als Komposition stetiger funktionen stetig ist,
> und in 0 diffbar ist f auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig, sodass ich den
> gedanken ganz schnell habe fallen lassen.
>
> Also zeige ich nun, dass
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+b)-f(b)}{h}[/mm] nicht
> existiert.
>
> Sei dazu [mm]b\not=0,[/mm] und [mm]b\not\in\IQ,[/mm] dann gilt:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+b)-f(b)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h+b-b}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h}{h}=1.[/mm]
>
> Sei nun [mm]b\not=0,[/mm] und [mm]b\in\IQ,[/mm] dann gilt:
>
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+b)-f(b)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h+b+(h+b)^2-b+b^2}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h+b+h^2+2hb+b^2-(b+b^2)}{h}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h+h^2+2hb}{h} =\limes_{h\rightarrow 0}[/mm]
> 1+h+2b=1+0+2b=1+2b
>
> Also stimmen die beiden grenzwerte nicht überein und die
> Funktion ist nicht diffbar (außer für b=0).
>
> Rückfrage hierzu:
>
> Wenn
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+b)-f(b)}{h}=\infty[/mm] für
> eins der beiden gelten würde, dann würde das ausreichen
> um zu sagen die Funktion ist nicht diffbar oder ?
>
> Oder muss man auch hier immer beides überprüfen ?
>
> Mfg. Hellsing :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Hellsing89 |
> > Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]f:\IR \to \IR[/mm]
> >
> >
> > [mm]f(x)=\begin{cases} x+x^2, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > [Eigentlich steht dort: [mm]x+x^2[/mm] falls [mm]x\in\IQ[/mm] und x falls
> > [mm]x\not\in\IQ[/mm] aber das ist ja mit obigen gleichbedeutend]
> >
> > in b=0 diffbar ist, und nur dort differenzierbar ist.
> > Als erstes habe ich mal gezeigt, die Funktion ist an
> der
> > Stelle b=0 diffbar.
> >
> > Sei also b=0, und [mm]b\in\IQ[/mm] dann gilt:
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+0)-f(0)}{h}[/mm] =
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h+h^2}{h} =\limes_{h\rightarrow 0}[/mm]
> > 1+h= 1.
> >
> > Als nächstes sei b=0 und [mm]b\not\in\IQ,[/mm]
>
>
>
> Sorry, aber mir ist nur diese Zeile in deinem "Beweis"
> aufgefallen - und da bin ich so erschrocken, dass ich
> mir vor Schreck fast selber ins Ohr gebissen habe ...
Naja wie unten bereits steht (siehe rückfrage), war ich mir etwas unsicher ob ich wirklich nur die Rationalen Zahlen betrachten muss. Mir ist durchaus bewusst, dass 0 eine rationale Zahl ist, allerdings war ich mir nicht ganz sicher ob man da nicht trdm. unterscheiden muss.
Nur deswegen habe ich [mm] b\not\in\IQ [/mm] geschrieben, was natürlich quatsch ist weil b eine rationale zahl ist.
> > dann gilt:
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+0)-f(0)}{h}[/mm] =
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h}{h}[/mm] = 1
> >
> > Also ist die Funktion f diffbar in b=0, mit f´(0) = 1.
> >
> > Rückfrage: Muss ich hier beides berechnen, also einmal
> > für [mm]b\not\in\IQ[/mm] und einmal für [mm]b\in\IQ[/mm] ?
> > Eigentlich ist b, ja als rationale Zahl darstellbar
> z.B.
> > [mm]\bruch{0}{4},[/mm] allerdings war ich mir unsicher ob man b
> > wirklich dazu zählt. Deswegen habe ich mal beides
> > gemacht.
> >
> > Nun ist noch zu zeigen, für [mm]b\not=0,[/mm] ist f nicht diffbar.
> >
> > Als erstes dachte ich mir, dass ich das ganze vll. auch
> > über Stetigkeit zeigen könnte, denn es gilt ja
> >
> > f unstetig [mm]\Rightarrow[/mm] f nicht diffbar.
> >
> > Da f aber als Komposition stetiger funktionen stetig ist,
> > und in 0 diffbar ist f auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig, sodass ich den
> > gedanken ganz schnell habe fallen lassen.
> >
> > Also zeige ich nun, dass
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+b)-f(b)}{h}[/mm] nicht
> > existiert.
> >
> > Sei dazu [mm]b\not=0,[/mm] und [mm]b\not\in\IQ,[/mm] dann gilt:
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+b)-f(b)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h+b-b}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h}{h}=1.[/mm]
>
> >
> > Sei nun [mm]b\not=0,[/mm] und [mm]b\in\IQ,[/mm] dann gilt:
> >
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+b)-f(b)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h+b+(h+b)^2-b+b^2}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h+b+h^2+2hb+b^2-(b+b^2)}{h}[/mm]
>
> >
> > [mm]=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h+h^2+2hb}{h} =\limes_{h\rightarrow 0}[/mm]
> > 1+h+2b=1+0+2b=1+2b
> >
> > Also stimmen die beiden grenzwerte nicht überein und die
> > Funktion ist nicht diffbar (außer für b=0).
> >
> > Rückfrage hierzu:
> >
> > Wenn
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+b)-f(b)}{h}=\infty[/mm] für
> > eins der beiden gelten würde, dann würde das ausreichen
> > um zu sagen die Funktion ist nicht diffbar oder ?
> >
> > Oder muss man auch hier immer beides überprüfen ?
> >
> > Mfg. Hellsing :)
>
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Hiho,
> Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]f:\IR \to \IR[/mm]
>
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x+x^2, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \end{cases}[/mm]
>
> [Eigentlich steht dort: [mm]x+x^2[/mm] falls [mm]x\in\IQ[/mm] und x falls
> [mm]x\not\in\IQ[/mm] aber das ist ja mit obigen gleichbedeutend]
>
> in b=0 diffbar ist, und nur dort differenzierbar ist.
> Als erstes habe ich mal gezeigt, die Funktion ist an der
> Stelle b=0 diffbar.
>
> Sei also b=0, und [mm]b\in\IQ[/mm] dann gilt:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+0)-f(0)}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h+h^2}{h} =\limes_{h\rightarrow 0}[/mm]
> 1+h= 1.
>
> Als nächstes sei b=0 und [mm]b\not\in\IQ,[/mm] dann gilt:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+0)-f(0)}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h}{h}[/mm] = 1
>
> Also ist die Funktion f diffbar in b=0, mit f´(0) = 1.
So,
Al hatte ja bereits schon geschrieben, dass deine Fallunterscheidung Blödsinn war.
Trotzdem hast du vieles richtig gemacht, nur sauber aufschreiben musst du es.
Schauen wir uns den Differenzenquotienten nochmal an:
[mm] $\bruch{f(h+0) - f(0)}{h} [/mm] = [mm] \bruch{f(h)}{h}$
[/mm]
Und jetzt denk nochmal scharf nach, in welcher Variable du eine Fallunterscheidung machen solltest.
> Nun ist noch zu zeigen, für [mm]b\not=0,[/mm] ist f nicht diffbar.
>
> Als erstes dachte ich mir, dass ich das ganze vll. auch
> über Stetigkeit zeigen könnte, denn es gilt ja
>
> f unstetig [mm]\Rightarrow[/mm] f nicht diffbar.
Gute Idee, und meistens ist der erste Gedanke ja der richtige. So auch hier!
> Da f aber als Komposition stetiger funktionen stetig ist,
Wie kommst du darauf? Wo ist das eine Komposition stetiger Funktionen?
MFG,
Gono.
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> Hiho,
>
> > Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]f:\IR \to \IR[/mm]
> >
> >
> > [mm]f(x)=\begin{cases} x+x^2, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > [Eigentlich steht dort: [mm]x+x^2[/mm] falls [mm]x\in\IQ[/mm] und x falls
> > [mm]x\not\in\IQ[/mm] aber das ist ja mit obigen gleichbedeutend]
> >
> > in b=0 diffbar ist, und nur dort differenzierbar ist.
> > Als erstes habe ich mal gezeigt, die Funktion ist an
> der
> > Stelle b=0 diffbar.
> >
> > Sei also b=0, und [mm]b\in\IQ[/mm] dann gilt:
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+0)-f(0)}{h}[/mm] =
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h+h^2}{h} =\limes_{h\rightarrow 0}[/mm]
> > 1+h= 1.
> >
> > Als nächstes sei b=0 und [mm]b\not\in\IQ,[/mm] dann gilt:
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h+0)-f(0)}{h}[/mm] =
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h}{h}[/mm] = 1
> >
> > Also ist die Funktion f diffbar in b=0, mit f´(0) = 1.
>
> So,
>
> Al hatte ja bereits schon geschrieben, dass deine
> Fallunterscheidung Blödsinn war.
> Trotzdem hast du vieles richtig gemacht, nur sauber
> aufschreiben musst du es.
>
> Schauen wir uns den Differenzenquotienten nochmal an:
>
> [mm]\bruch{f(h+0) - f(0)}{h} = \bruch{f(h)}{h}[/mm]
>
> Und jetzt denk nochmal scharf nach, in welcher Variable du
> eine Fallunterscheidung machen solltest.
Natürlich für h, also einmal mit h irrational und einmal mit h rational.
>
> > Nun ist noch zu zeigen, für [mm]b\not=0,[/mm] ist f nicht diffbar.
> >
> > Als erstes dachte ich mir, dass ich das ganze vll. auch
> > über Stetigkeit zeigen könnte, denn es gilt ja
> >
> > f unstetig [mm]\Rightarrow[/mm] f nicht diffbar.
>
> Gute Idee, und meistens ist der erste Gedanke ja der
> richtige. So auch hier!
>
> > Da f aber als Komposition stetiger funktionen stetig ist,
>
> Wie kommst du darauf? Wo ist das eine Komposition stetiger
> Funktionen?
Stimmt das ist natürlich unsinn. Hab mich da verguckt. Ist den mein beweis mittels diffquotient nicht auch zulässig ?
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Hiho,
> Natürlich für h, also einmal mit h irrational und einmal
> mit h rational.
Korrekt. Mach dir noch klar, dass wenn du die Existenz von [mm] $\lim_{h\to 0, h\in\IQ}$ [/mm] und die von [mm] $\lim_{h\to 0, h\not\in\IQ}$ [/mm] gezeigt hast und die gleich sind, du die Existenz von [mm] \lim_{h\to 0} [/mm] gezeigt hast.
> Stimmt das ist natürlich unsinn. Hab mich da verguckt. Ist
> den mein beweis mittels diffquotient nicht auch zulässig
Klar, nur das folgt ja auch sofort aus der Unstetigkeit an jeder Stelle außer Null. Warum da mehr Arbeit reinstecken? 
Du kannst für jede unstetige Funktion zeigen, dass der Differenzenquotient nicht konvergiert.
MFG,
Gono.
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