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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Mo 28.03.2005 | | Autor: | ThommyM |
Aus Differenzierbarkeit folgt ja Stetigkeit! Das ist mir auch soweit klar, jedoch verstehe ich den Beweis dazu nicht vollständig bzw. weiß nicht, ob ich ihn verstanden habe:
Falls eine Funktion f in x0 differenzierbar ist, existiert ja der Limes für x gegen x0 von f(x)-f(x0)/x-x0. Warum folgt denn daraus direkt, dass f(x) gegen f(x0) geht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Tommy,
"Differenzierbar" heißt doch, dass
[mm] \bruch{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}
[/mm]
gegen einen endlichen Wert gehen muss, wenn x [mm] \to x_{0} [/mm] geht.
Was macht aber der Nenner? Er geht natürlich gegen 0.
Was wäre nun, wenn der Zähler nicht auch gegen 0 ginge, sondern - sagen wir mal - gegen 1 (oder irgendeine andere Zahl [mm] \not=0)?
[/mm]
Dann würde der Bruch gegen [mm] \bruch{1}{0} [/mm] gehen, also gegen [mm] \infty.
[/mm]
Das aber wäre ein Widerspruch zur Differenzierbarkeit (siehe oben).
Folgerung: Auch der Zähler muss gegen 0 gehen!
Dann aber geht natürlich f(x) gegen [mm] f(x_{0})
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Zwerglein, hallo Thommy!
Auch auf die Gefahr hin, das Zwerglein und Loddar ![[huhu]](/images/smileys/huhu.gif "[huhu]") jetzt auf mich einprügeln  :
> Hi, Tommy,
>
> "Differenzierbar" heißt doch, dass
>
> [mm]\bruch{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}[/mm]
>
> gegen einen endlichen Wert gehen muss, wenn x [mm]\to x_{0}[/mm]
> geht.
>
> Was macht aber der Nenner? Er geht natürlich gegen 0.
>
> Was wäre nun, wenn der Zähler nicht auch gegen 0 ginge,
> sondern - sagen wir mal - gegen 1 (oder irgendeine andere
> Zahl [mm]\not=0)?[/mm]
Naja, okay, das wäre möglich, aber es könnte ja auch der Fall eintreten, dass:
[mm] $(\star)$ $\lim_{x \to x_0}(f(x)-f(x_0))$ [/mm] existiert nicht!
(Bzw. es fehlt eine Begründung, dass dieser Fall nicht vorkommen kann!)
(Das ist jetzt auch so eine Sache mit diesem Einwand: Für mich ist es nicht vollkommen klar, dass Zwerglein diesen Fall mitbetrachtet und bedarf einer besonderen Erwähnung, weil mir die Antwort von Zwerglein suggeriert, dass [mm] $\lim_{x \to x_0}(f(x)-f(x_0))$ [/mm] existieren "sollte". Vielleicht hat Zwerglein den Fall, dass [mm] $\lim_{x \to x_0}(f(x)-f(x_0))$ [/mm] nicht existiert, aber auch mitbetrachtet. Naja, falls ich mich da zuviel von meinem Gefühl leiten lasse: ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") ).
> Dann würde der Bruch gegen [mm]\bruch{1}{0}[/mm] gehen, also gegen
> [mm]\infty.[/mm]
>
> Das aber wäre ein Widerspruch zur Differenzierbarkeit
> (siehe oben).
>
> Folgerung: Auch der Zähler muss gegen 0 gehen!
> Dann aber geht natürlich f(x) gegen [mm]f(x_{0})[/mm]
Wegen meines obigen Einwandes [mm] ($(\star)$) [/mm] müßte Zwerglein (falls es aus seiner Sicht berechtigt sein sollte) seine Antwort entweder noch ergänzen (), oder aber ich geb dir mal nen Link, wo du einen Link zu einem Beweis findest (ich könnte ihn dir auch schnell aufschreiben, aber warum soll ich das machen, wenn ich doch faul sein kann ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") ):
https://matheraum.de/read?i=8693&mark1=impliziert&mark2=stetigkeit
Oder siehe auch hier:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf [mm] ($\leftarrow$ Satz 13.3, S.116 (skriptinterne Zählung))
Viele Grüße,
Marcel
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Marcel,
und wie geht das?
Der Grenzwert von x [mm] \to x_{0} [/mm] für f(x) - [mm] f(x_{0} [/mm] existiert nicht und dennoch ist die Funktion differenzierbar?
D.h.: der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert, auch der Nenner geht gegen einen festen Wert, der Zähler aber divergiert?
Dass man sowas überhaupt berücksichtigt, hab' ich noch nirgends gesehen!
Und dazu geben Deine Links auch keinen Hinweis!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Zwerglein!
> Hi, Marcel,
>
> und wie geht das?
> Der Grenzwert von x [mm]\to x_{0}[/mm] für f(x) - [mm]f(x_{0}[/mm] existiert
> nicht und dennoch ist die Funktion differenzierbar?
Ich habe nicht gesagt, dass das geht, sondern dass man (so, wie du deinen Beweis aufgebaut hast) nichtsdestotrotz darauf eingehen sollte. Wenn es so klar ist, dass das nicht geht, dann dürfte es dir auch nicht schwer fallen, das ganze formal aufzuschreiben (man sieht es übrigens anhand des Beweises in den Links, dass dieser Fall nicht auftreten kann. Aber du hast einen anderen Beweisansatz!). Es tut mir leid, wenn du diese Bemerkung für unnütz hältst, aber ich bin in solchen Dingen sehr (vielleicht auch zu) pingelig.
> D.h.: der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert,
> auch der Nenner geht gegen einen festen Wert, der Zähler
> aber divergiert?
> Dass man sowas überhaupt berücksichtigt, hab' ich noch
> nirgends gesehen!
> Und dazu geben Deine Links auch keinen Hinweis!
Nein, aber in den Links steht der (direkte) Beweis aber auch mittels den Rechenregeln von Grenzwerten und daher braucht man da überhaupt keine Fallunterscheidung. Man folgert (dort) aus der Existenz von [m]\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/m] wegen der Existenz des Grenzwertes [mm] $\lim_{x \to x_0}(x-x_0)\;\;(=0)$ [/mm] unmittelbar, dass (Rechenregeln für das Produkt von Grenzwerten anwenden):
[m]0
=f\,'(x_0)*0
=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\;*\lim_{x \to x_0}(x-x_0)
=\lim_{x \to x_0}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}*(x-x_0)\right)
=\lim_{x \to x_0}(f(x)-f(x_0))[/m]
gilt, und daher:
[mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$ [/mm] folgt.
Du wolltest den (Widerspruchs-)Beweis (ich vermute jedenfalls, dass du einen Widerspruchsbeweis machen wolltest; da kann ich mich aber auch täuschen!) aber so anfangen:
Angenommen, [m]\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/m] existiert, obwohl $f(x) [mm] \not\to f(x_0)$ [/mm] ($x [mm] \to x_0$).
[/mm]
Und nun ist es halt so:
Die Aussage, dass $f(x) [mm] \not\to f(x_0)$ [/mm] ($x [mm] \to x_0$) [/mm] gilt, heißt ja noch lange nicht, dass $f(x)$ bei $x [mm] \to x_0$ [/mm] gegen einen anderen Wert als [mm] $f(x_0)$ [/mm] konvergiert, sondern eben nur, dass entweder $f(x)$ bei $x [mm] \to x_0$ [/mm] gegen einen anderen Wert als [mm] $f(x_0)$ [/mm] konvergiert, oder aber das [m]f(x)[/m] bei $x [mm] \to x_0$ [/mm] gar nicht konvergiert bzw. divergiert.
Und du hast halt nur einen der beiden Fälle behandelt. Und: Der Fall, dass $f(x)$ bei $x [mm] \to x_0$ [/mm] gegen einen anderen Wert als [mm] $f(x_0)$ [/mm] konvergiert, ist für mich übrigens genauso trivial wie der Fall, dass $f(x)$ bei $x [mm] \to x_0$ [/mm] gar nicht konvergiert.
(Argumentation, falls $f(x)$ gegen einen Wert [mm] $\not=f(x_0)$ [/mm] konvergiert (bei $x [mm] \to x_0$): [/mm] Der Zähler konvergiert dann gegen einen Wert, der betragsmäßig $>0$ ist, der Nenner gegen $0$, also gilt dann:
[m]\left|\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right|=\frac{\red{\overbrace{\lim_{x \to x_0}(|f(x)-f(x_0)|)}^{>0}}}{\blue{\underbrace{\lim_{x \to x_0}(|x-x_0|)}_{=0}}}=\infty[/m], was aber nicht sein kann...)
Daher finde ich, dass man beides (bei deinem Beweisaufbau) beachten sollte.
Naja, ist ja nur ![[meinemeinung]](/images/smileys/meinemeinung.gif "[meinemeinung]") !  Die musst du ja nicht mit mir teilen !
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:41 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Marcel,
ganz klar: Wenn Du's so ausführlich "beweisen" willst, dann muss man's so machen!
Mir war's eher wichtig, die Sache "plausibel" zu machen, es so zu erklären, dass man's ohne "große Mathematik" schnell einsieht! (So macht man's halt in der Schule!)
Als dann:
Kein Wort von Versöhnung! ;))
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Marcel,
also: wenn ich mir die beiden Alternativen so anschau', gefällt mit die linke doch besser als die rechte: Streicheln ist besser als Pieksen!
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![[umarmen]](/images/smileys/umarmen.gif "[umarmen]"){kind=small}
, sondern weiter ![[fechtduell]](/images/smileys/fechtduell.gif "[fechtduell]"){kind=small}
. ![[totlach]](/images/smileys/totlach.gif "[totlach]"){kind=small}
