Diffbarkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Mo 09.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | Zu vorgegebener natürlicher Zahl n betrachen wir die Fkt. f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit
[mm] f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\le0 \mbox{} \\ x^{n}, & \mbox{für } x>0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie, dass diese Fkt (n-1)-mal diffbar ist, aber nicht n-mal, und berechnen Sie die Ableitungen [mm] f^{(k)} [/mm] für [mm] 1\lek |
Ich weiß nicht wie ich an diese Aufgabe dran gehen soll.
Wie zeigt man, dass etwas diffbar ist. ??
Über Induktion ?
Außerdem komme ich selber intuitiv zu dem Schluss, dass es n-mal diffbar ist, was ja eigentlich nicht sein kann.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Leicht zeigt man (über die Betrachtung der Differentialquotienten im Nullpunkt) die $(n-1)$-fache Differenzierbarkeit und
[mm] $f^{(k)}(x) [/mm] = [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & , & x \le 0\\[5pt] \frac{n!}{(n-k)!} x^{n-k} & , & x>0. \end{array} \right.$
[/mm]
für [mm] $k=0,1,\ldots,n-1$.
[/mm]
Insbesondere ist
[mm] $f^{(n-1)}(x) [/mm] = [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & , & x \le 0\\[5pt] n! x & , & x>0. \end{array} \right.$
[/mm]
Diese Funktion ist in $x=0$ nicht differenzierbar, wie die Betrachtung des links- bzw. rechtsseitigen Differentialquotienten leicht offenbart.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Mo 09.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
Hmm........
ich verstehe ich es noch nicht ganz.
Also die Ableitungen verstehe ich ja schon.
Aber wie zeigt man, dass die f(x)-Fkt (n-1)-mal diffbar ist, aber nicht n-mal.
Wäre nett, wenn mir das noch jemand erklären könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Bilde doch mal den links- und rechtsseitigen Differentialquotienten von [mm] $f^{(n-1)}$ [/mm] in $x=0$. Was fällt dir auf?
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Mo 09.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
Ok, also mit Diffquotienten meinst du wohl
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
mit x=0 folgt:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h)-f(0)}{h}=
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h)-0}{h}=
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{0}{h}=0.
[/mm]
Ich weiß um ehrlich zu sein nicht genau was du mit Diffquotient meinst, da wir das in der Vorlesung noch nicht hatten.
Habe die Diffquot. aus dem Netz.
Was bedeutet es, wenn beim lim Null rauskommt.
Was ist die Aussage davon.
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Hallo Rados!
Das mit dem Differenzenquotienten war schon sehr richtig. Hierbei handelt es sich aber lediglich um den linksseitigen Grenzwert mit $h \ < \ 0$, d.h. hier gilt: [mm] $f^{(n-1)}(h) [/mm] \ = \ 0$ (wie Du auch richtig eingesetzt hast).
Nun betrachte den rechtsseitigen Grenzwert mit $h \ > \ 0$.
Denn dort gilt: [mm] $f^{(n-1)}(h) [/mm] \ = \ n!*h$ (siehe Julius' Antwort).
Was erhältst Du nun als Grenzwert?
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Und nur wenn diese beiden Grenzwerte übereinstimmen, ist die entsprechende Funktion an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] auch differenzierbar.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Mo 09.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
Na gut,
dann wollen wir mal:
also
jetzt muss man den rechtsseitigen Diffquot. zeigen.
Also
[mm] \limes_{h\rightarrow\infty} \bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] mit x=0 folgt:
[mm] \limes_{h\rightarrow \infty} \bruch{f(h)-f(0)}{h}=
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow \infty} \bruch{f(h)}{h}=
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow \infty} \bruch{h^{n}}{h}=
[/mm]
[mm] h^{n-1}.
[/mm]
Also das kommt bei mir raus.
Da der linksseitige Diffquot. Null ist und der rechtsseitige [mm] h^{n-1} [/mm] für x=0 ergibt ist die Funktion an x=0 nicht diffbar, wenn ich es richtig verstanden habe.
Nun gut.
Kann ich jetzt einfach daraus folgern, dass die Fkt. f(x) n-1 mal diffbar ist, weil am Punkte Null es keine diffbarkeit gibt, bzw. dort nicht diffbar ist und somit quasi eine diffbarkeit "fehlt" ?
(Wieso könnte man dann ausschließen, dass an den Restlichen Stellen diffbarkeit vorliegt ?)
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Hallo Rados!
Einige Korrekturen ...
Zunächst einmal wird beim Differenzenquotienten grundsätzlich der Grenzwert betrachtet für $h [mm] \rightarrow\red{0}$ [/mm] .
Dann sind wir gerade bei der $(n-1)_$. Ableitung [mm] $f^{(n-1)}$ [/mm] . Dort gilt für [mm] $x\ge [/mm] 0$ : [mm] $f^{(n-1)}(x) [/mm] \ = \ n!*x$ .
> [mm]\limes_{h\rightarrow \infty} \bruch{f(h)}{h}=[/mm] [mm]\limes_{h\rightarrow \infty} \bruch{h^{n}}{h}=[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Siehe oben:
[mm] $\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f^{(n-1)}(0+h)-f^{(n-1)}(0)}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{n!*h-0}{h} [/mm] \ = \ n! \ [mm] \not= [/mm] \ 0$
> Da der linksseitige Diffquot. Null ist und der
> rechtsseitige [mm]h^{n-1}[/mm] für x=0 ergibt ist die Funktion an
> x=0 nicht diffbar, wenn ich es richtig verstanden habe.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Prinzipiell richtig verstanden!
> Kann ich jetzt einfach daraus folgern, dass die Fkt. f(x)
> n-1 mal diffbar ist, weil am Punkte Null es keine
> diffbarkeit gibt, bzw. dort nicht diffbar ist und somit
> quasi eine diffbarkeit "fehlt" ?
Nein, diese Argumentation ist falsch! Für jede andere Ableitung (und die Ausgangsfunktion) stimmen die beiden Grenzwerte des Differenzenquotienten (linksseitig und rechtsseitig) an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ überein.
Probiere das mal aus (beachte dabei Julius' Antwort über die $k_$-te Ableitung [mm] $f^{(k)}(x)$ [/mm] ...)!
> (Wieso könnte man dann ausschließen, dass an den
> Restlichen Stellen diffbarkeit vorliegt ?)
Weil sich hier die Funktion aus beliebig oft differenzierbaren Teilfunktionen zusammensetzt. Daher ist lediglich die Nahtstelle bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ relevant und interessant.
Gruß vom
Roadrunner
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