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| Aufgabe | Ist die Funktion $ f: [mm] \IR \to \IR [/mm] $ differenzierbar?
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
\bruch{sin(x)}{x}, & \mbox{}\mbox{ x ungleich 0} \\
1, & \mbox{}\mbox{ x = 0}
\end{matrix}\right. [/mm] |
Servus,
ich habe eine Frage,
wenn ich die h-methode benutzen würde, hätte ich ja
$ f'(x) = [mm] \bruch{f(0+h)-f(0)}{h} [/mm] $
das ist ja gleich $ [mm] \bruch{sin(h)-1}{h} [/mm] $
mein Problem ist jetzt ist die -1 falsch?
wenn x=0 ist, steht ja oben die -1, aber ein Kollege meinte das ist 0.
ich fahre mal fort..
$ [mm] (\bruch{sin(h)-1}{h}) [/mm] $ $ [mm] \bruch{1}{h} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{sin(h)}{h^2}-\bruch{1}{h} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{sin h}{h^2} [/mm] - [mm] \bruch{h}{h^2} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{sin h-h}{h^2} [/mm] $
wenn ich nun den Limes berechnen würde und h [mm] \to [/mm] 0 laufen würde, würde es divergieren Die Funktion ist daher nur auf [mm] \IR [/mm] \ {0} differenzierbar.
kann mir jmd. helfen?
theoretisch gesehen steht ja eig "0 durch 0" L´H? :S
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Di 13.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Striker_03!
> Ist die Funktion [mm]f: \IR \to \IR[/mm] differenzierbar?
>
> [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
\bruch{sin(x)}{x}, & \mbox{}\mbox{ x ungleich 0} \\
1, & \mbox{}\mbox{ x = 0}
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> Servus,
> ich habe eine Frage,
>
> wenn ich die h-methode benutzen würde, hätte ich ja
>
> [mm]f'(x) = \bruch{f(0+h)-f(0)}{h}[/mm]
Das Gleichheitszeichen ist falsch.
> das ist ja gleich [mm]\bruch{sin(h)-1}{h}[/mm]
Falsch. Richtig:
[mm] \bruch{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{\frac{\sin(h)}{h}-1}{h}.
[/mm]
> mein Problem ist jetzt ist die -1 falsch?
>
> wenn x=0 ist, steht ja oben die -1, aber ein Kollege meinte
> das ist 0.
>
> ich fahre mal fort..
>
> [mm](\bruch{sin(h)-1}{h})[/mm] [mm]\bruch{1}{h}[/mm] =
Wieso multiplizierst du hier mit [mm] \frac{1}{h}?
[/mm]
> [mm]\bruch{sin(h)}{h^2}-\bruch{1}{h}[/mm] = [mm]\bruch{sin h}{h^2} - \bruch{h}{h^2}[/mm]
> = [mm]\bruch{sin h-h}{h^2}[/mm]
Okay, das ist lustig. Obwohl du dann auch noch falsch ausmulti-
pliziert hast bist du auf das richtige Ergebnis gekommen. 
Es ist aber in der Tat
[mm] \bruch{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{\frac{\sin(h)}{h}-1}{h}=\bruch{\sin h-h}{h^2}.
[/mm]
> wenn ich nun den Limes berechnen würde und h [mm]\to[/mm] 0 laufen
> würde,
Du willst den Limes berechnen UND [mm] $h\$ [/mm] gegen [mm] $0\$ [/mm] laufen lassen?
> würde es divergieren Die Funktion ist daher nur
> auf [mm]\IR[/mm] \ {0} differenzierbar.
>
> kann mir jmd. helfen?
>
> theoretisch gesehen steht ja eig "0 durch 0" L´H? :S
Ja, aber mit der Potenzreihe vom Sinus sollte es auch klappen.
Vielleicht solltest du mit mehr Ordnung arbeiten. Willst du die
Differenzierbarkeit zunächst explizit auf [mm] \IR\setminus\{0\} [/mm] zeigen oder kan-
nst du benutzen, dass [mm] $f\$ [/mm] als Komposition differenzierbarer Funk-
tionen auf [mm] \IR\setminus\{0\} [/mm] wieder differenzierbar ist und dich nur mit der
Null beschäftigen? Ich tippe auf letzteres.
Gruß
DieAcht
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Hallo,
danke für deine Antwort.
Ja das letztere stimmt. aber irgendwie verstehe ich deine Antwort nicht ganz genau.
$ [mm] \bruch{sin h-h}{h^2} [/mm] $
[mm] \limes_{h \to 0} \bruch{sin h-h}{h^2}
[/mm]
und mit der Potenzreihe habe ich das nicht verstanden. Habe zwar online nach der Potenzreihe gegooglet aber irgendwie scheint mir es nicht klar zu sein..
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Di 13.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Ja das letztere stimmt. aber irgendwie verstehe ich deine
> Antwort nicht ganz genau.
Ich habe editiert.
> [mm]\bruch{sin h-h}{h^2}[/mm]
>
> [mm]\limes_{h \to 0} \bruch{sin h-h}{h^2}[/mm]
>
> und mit der Potenzreihe habe ich das nicht verstanden. Habe
> zwar online nach der Potenzreihe gegooglet aber irgendwie
> scheint mir es nicht klar zu sein..
Es ist
[mm] \sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left((-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right) [/mm] für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
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