Diffbar- und Stetigkeit zeigen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es gibt eine Funktion [mm] f(x)=2x^2+2
[/mm]
Zeige, dass die Funktion differenzierbar ist und stetig. |
So, die Aufgabe habe ich mir selbst gestellt zum Üben!
Ich würde gern wissen, ob ich alles richtig aufgeschrieben habe, ob es richtig ist und bei der Stetigkeit habe ich 2 Lösungen anzubieten. Sind beide richtig?
Differenzierbarkeit:
[mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{f(x)-f(a)}{x-a} [/mm] exstistiert
[mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{2x^2+2-2a^2-2}{x-a}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{2x^2-2a^2}{x-a}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{2(x-a)(x+a)}{(x-a)}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] 2x+2a =4x=f'(x)
Stetigkeit:
[mm] \forall\varepsilon>0\exists\delta>0 |x-a|<\delta =>|f(x)-f(a)<\varepsilon
[/mm]
[mm] |2x^2+2-2a^2-2|<\varepsilon
[/mm]
<=> [mm] |2(x-a)(x+a)|<\varepsilon
[/mm]
<(gleich) [mm] 2\delta(x+a) ((x-a)<\delta)
[/mm]
Möglichkeit 1:
Wähle [mm] \delta:=(\bruch{\varepsilon}{2(x-a)})
[/mm]
<(gleich) [mm] 2\bruch{\varepsilon}{2(x-a)(x-a)}
[/mm]
<(gleich) [mm] \varepsilon [/mm]
Fertig!
Möglichkeit 2:
<(gleich) [mm] 2\delta(a/2 [/mm] + a) (x<a/2)
<(gleich) [mm] 3\delta [/mm] a
Wähle [mm] \delta:=(\bruch{\varepsilon}{3a)})
[/mm]
Nach Einsetzen bekommt man
<(gleich) [mm] \varepsilon [/mm]
So, sind beide Möglichkeiten richtig bzw. die Abschätzungen?
Ich verstehe nicht, wieso man manchmal beim Wählen vom Delta min oder max schreibt. Was bedeutet das genau? Hätte ich hier auch min(delta) schreiben können?
Vielen Dank für eure Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
|
|
| |
|
Hallo,
> Es gibt eine Funktion [mm]f(x)=2x^2+2[/mm]
> Zeige, dass die Funktion differenzierbar ist und stetig.
> So, die Aufgabe habe ich mir selbst gestellt zum Üben!
> Ich würde gern wissen, ob ich alles richtig
> aufgeschrieben habe, ob es richtig ist und bei der
> Stetigkeit habe ich 2 Lösungen anzubieten. Sind beide
> richtig?
>
> Differenzierbarkeit:
> [mm]\limes_{x\rightarrow a} \bruch{f(x)-f(a)}{x-a}[/mm]
> exstistiert
> [mm]\limes_{x\rightarrow a} \bruch{2x^2+2-2a^2-2}{x-a}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow a} \bruch{2x^2-2a^2}{x-a}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow a} \bruch{2(x-a)(x+a)}{(x-a)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm] $\limes_{x\rightarrow a}$ [/mm] 2x+2a [mm] =4\red{a}=f'(\red{a})$ [/mm]
>
> Stetigkeit:
Die folgt doch direkt aus der Differenzierbarkeit:
$f$ diffbar in [mm] $a\Rightarrow [/mm] f$ stetig in $a$
> [mm]\forall\varepsilon>0\exists\delta>0 |x-a|<\delta =>|f(x)-f(a)<\varepsilon[/mm]
>
> [mm]|2x^2+2-2a^2-2|<\varepsilon[/mm]
> <=> [mm]|2(x-a)(x+a)|<\varepsilon[/mm]
> <(gleich) [mm]2\delta(x+a) ((x-a)<\delta)[/mm]
>
> Möglichkeit 1:
> Wähle [mm]\delta:=(\bruch{\varepsilon}{2(x-a)})[/mm]
Das [mm] $\delta$ [/mm] darf nicht von $x$ abhängen, das ist ja variabel, wohl aber von [mm] $\varepsilon$ [/mm] und $a$
> <(gleich) [mm]2\bruch{\varepsilon}{2(x-a)(x-a)}[/mm]
> <(gleich) [mm]\varepsilon[/mm]
> Fertig!
>
> Möglichkeit 2:
> <(gleich) [mm]2\delta(a/2[/mm] + a) (x<a/2)
> <(gleich) [mm]3\delta[/mm] a
> Wähle [mm]\delta:=(\bruch{\varepsilon}{3a)})[/mm]
> Nach Einsetzen bekommt man
> <(gleich) [mm]\varepsilon[/mm]
>
>
> So, sind beide Möglichkeiten richtig bzw. die
> Abschätzungen?
> Ich verstehe nicht, wieso man manchmal beim Wählen vom
> Delta min oder max schreibt. Was bedeutet das genau? Hätte
> ich hier auch min(delta) schreiben können?
Hier kannst du zweierlei versuchen, nimm an [mm] $|x-a|<\delta$ [/mm] und löse die Ungleichung [mm] $2|x-a||x+a|<\varepsilon
[/mm]
Beachte [mm] $|x+a|=|x-a+2a|\le [/mm] |x-a|+2|a|$ nach Dreiecksungl. [mm] $<\delta+2|a|$
[/mm]
Die andere Möglichkeit (und einfacher) ist obdA anzunehmen, dass $|x-a|<1$ ist
Damit ist [mm] $|x+a|=|x-a+2a|\le [/mm] |x-a|+2|a|<1+2|a|$
Konstruiere damit nochmal dein [mm] $\delta$
[/mm]
Einmal direkt, einmal als [mm] $\min\{...\}$
[/mm]
>
> Vielen Dank für eure Hilfe
> Gruß
> TheBozz-mismo
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
>
> Die folgt doch direkt aus der Differenzierbarkeit:
>
Das ist mir klar, doch ich möchte das trotzdem lernen
> [mm]f[/mm] diffbar in [mm]a\Rightarrow f[/mm] stetig in [mm]a[/mm]
>
> > [mm]\forall\varepsilon>0\exists\delta>0 |x-a|<\delta =>|f(x)-f(a)<\varepsilon[/mm]
>
> >
> > [mm]|2x^2+2-2a^2-2|<\varepsilon[/mm]
> > <=> [mm]|2(x-a)(x+a)|<\varepsilon[/mm]
> > <(gleich) [mm]2\delta(x+a) ((x-a)<\delta)[/mm]
> >
> > Möglichkeit 1:
> > Wähle [mm]\delta:=(\bruch{\varepsilon}{2(x-a)})[/mm]
>
> Das [mm]\delta[/mm] darf nicht von [mm]x[/mm] abhängen, das ist ja variabel,
> wohl aber von [mm]\varepsilon[/mm] und [mm]a[/mm]
Ok, stimmt, habe ich vergessen, aber ist ja auch logisch. Danke für die Korrektur!
>
>
> > <(gleich) [mm]2\bruch{\varepsilon}{2(x-a)(x-a)}[/mm]
> > <(gleich) [mm]\varepsilon[/mm]
> > Fertig!
> >
> > Möglichkeit 2:
> > <(gleich) [mm]2\delta(a/2[/mm] + a) (x<a/2)
> > <(gleich) [mm]3\delta[/mm] a
> > Wähle [mm]\delta:=(\bruch{\varepsilon}{3a)})[/mm]
> > Nach Einsetzen bekommt man
> > <(gleich) [mm]\varepsilon[/mm]
> >
> >
> > So, sind beide Möglichkeiten richtig bzw. die
> > Abschätzungen?
> > Ich verstehe nicht, wieso man manchmal beim Wählen vom
> > Delta min oder max schreibt. Was bedeutet das genau? Hätte
> > ich hier auch min(delta) schreiben können?
>
> Hier kannst du zweierlei versuchen, nimm an [mm]$|x-a|<\delta$[/mm]
> und löse die Ungleichung [mm]$2|x-a||x+a|<\varepsilon[/mm]
>
> Beachte [mm]|x+a|=|x-a+2a|\le |x-a|+2|a|[/mm] nach Dreiecksungl.
> [mm]<\delta+2|a|[/mm]
>
> Die andere Möglichkeit (und einfacher) ist obdA
> anzunehmen, dass [mm]|x-a|<1[/mm] ist
>
> Damit ist [mm]|x+a|=|x-a+2a|\le |x-a|+2|a|<1+2|a|[/mm]
>
> Konstruiere damit nochmal dein [mm]\delta[/mm]
>
> Einmal direkt, einmal als [mm]\min\{...\}[/mm]
Ok, kannst du mir sagen, wann ich min zeigen kann und wann direkt? Weil irgendwie hab ich den Unterschied noch nicht verstanden...
Und kannst du mir sagen, wie du auf die Bedingung |x-a|<1 kommst? Ich habe immer Probleme damit, solche Bedingungen zu sehen.
Ich nehme jetzt mal deine 2. Möglichkeit:
[mm] |x+a|=|x-a+2a|\le [/mm] |x-a|+2|a|<1+2|a|
So, jetzt muss ich Delta irgendwie mit hereinbringen...nur wie? habe ja nur die Bedingung [mm] |x-a|<\delta [/mm] oder?
Also mit dieser Bedingung bekommt man:
[mm] 1+2|\delta| [/mm] oder muss man zuerst die zahl 1 umschreiben?
Ich weiß nicht, wie ich delta in die Gleichung einbringe...
Bitte um Hilfe
TheBozz-mismo
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> >
> > Die folgt doch direkt aus der Differenzierbarkeit:
> >
> Das ist mir klar, doch ich möchte das trotzdem lernen
> > [mm]f[/mm] diffbar in [mm]a\Rightarrow f[/mm] stetig in [mm]a[/mm]
> >
> > > [mm]\forall\varepsilon>0\exists\delta>0 |x-a|<\delta =>|f(x)-f(a)<\varepsilon[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]|2x^2+2-2a^2-2|<\varepsilon[/mm]
> > > <=> [mm]|2(x-a)(x+a)|<\varepsilon[/mm]
> > > <(gleich) [mm]2\delta(x+a) ((x-a)<\delta)[/mm]
> > >
> > > Möglichkeit 1:
> > > Wähle [mm]\delta:=(\bruch{\varepsilon}{2(x-a)})[/mm]
> >
> > Das [mm]\delta[/mm] darf nicht von [mm]x[/mm] abhängen, das ist ja variabel,
> > wohl aber von [mm]\varepsilon[/mm] und [mm]a[/mm]
> Ok, stimmt, habe ich vergessen, aber ist ja auch logisch.
> Danke für die Korrektur!
> >
> >
> > > <(gleich) [mm]2\bruch{\varepsilon}{2(x-a)(x-a)}[/mm]
> > > <(gleich) [mm]\varepsilon[/mm]
> > > Fertig!
> > >
> > > Möglichkeit 2:
> > > <(gleich) [mm]2\delta(a/2[/mm] + a) (x<a/2)
> > > <(gleich) [mm]3\delta[/mm] a
> > > Wähle [mm]\delta:=(\bruch{\varepsilon}{3a)})[/mm]
> > > Nach Einsetzen bekommt man
> > > <(gleich) [mm]\varepsilon[/mm]
> > >
> > >
> > > So, sind beide Möglichkeiten richtig bzw. die
> > > Abschätzungen?
> > > Ich verstehe nicht, wieso man manchmal beim Wählen
> vom
> > > Delta min oder max schreibt. Was bedeutet das genau? Hätte
> > > ich hier auch min(delta) schreiben können?
> >
> > Hier kannst du zweierlei versuchen, nimm an [mm]$|x-a|<\delta$[/mm]
> > und löse die Ungleichung [mm]$2|x-a||x+a|<\varepsilon[/mm]
> >
> > Beachte [mm]|x+a|=|x-a+2a|\le |x-a|+2|a|[/mm] nach Dreiecksungl.
> > [mm]<\delta+2|a|[/mm]
> >
> > Die andere Möglichkeit (und einfacher) ist obdA
> > anzunehmen, dass [mm]|x-a|<1[/mm] ist
> >
> > Damit ist [mm]|x+a|=|x-a+2a|\le |x-a|+2|a|<1+2|a|[/mm]
> >
> > Konstruiere damit nochmal dein [mm]\delta[/mm]
> >
> > Einmal direkt, einmal als [mm]\min\{...\}[/mm]
>
> Ok, kannst du mir sagen, wann ich min zeigen kann und wann
> direkt? Weil irgendwie hab ich den Unterschied noch nicht
> verstanden...
Meist ist die Konstruktion mit dem Minimum einfacher ...
Sogar hier, wo es allg. nicht allzu schwer ist, ist das einiges an Rechnerei ...
>
> Und kannst du mir sagen, wie du auf die Bedingung |x-a|<1
> kommst?
Das ist willkürlich, damit es einfach wird 
Wie wollen ja x "nahe" an a haben, dann nehmen wir der Einfachheit halber $|x-a|<1$
> Ich habe immer Probleme damit, solche Bedingungen
> zu sehen.
>
> Ich nehme jetzt mal deine 2. Möglichkeit:
> [mm]|x+a|=|x-a+2a|\le[/mm] |x-a|+2|a|<1+2|a|
> So, jetzt muss ich Delta irgendwie mit hereinbringen...nur
> wie? habe ja nur die Bedingung [mm]|x-a|<\delta[/mm] oder?
> Also mit dieser Bedingung bekommt man:
> [mm]1+2|\delta|[/mm] oder muss man zuerst die zahl 1 umschreiben?
> Ich weiß nicht, wie ich delta in die Gleichung
> einbringe...
Der Übersicht halber zeige ich dir mal meine Rechnung:
[mm] \underline{1.Variante}:
[/mm]
Sei [mm] $|x-a|<\delta$, [/mm] dann ist
[mm] $|f(x)-f(a)|=...=2|x-a||x+a|=|x-a|\cdot{}2\blue{|x+a|}\le |x-a|\cdot{}2(\blue{|x-a|+2|a|})$ [/mm] zu der Abschätzung hatte ich oben was geschrieben
[mm] $=2|x-a|^2+4|a||x-a|<2\delta^2+4|a|\delta$
[/mm]
Und das soll [mm] $<\varepsilon$ [/mm] sein.
Lösen wir also: [mm] $2\left(\delta^2+2|a|\delta-\frac{\varepsilon}{2}\right)<0$
[/mm]
[mm] $\gdw (\delta+|a|)^2-\left(a^2+\frac{\varepsilon}{2}\right)<0$
[/mm]
[mm] $\gdw (\delta+|a|)^2
[mm] $\Rightarrow \delta+|a|<\sqrt{a^2+\frac{\varepsilon}{2}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \delta<\sqrt{a^2+\frac{\varepsilon}{2}}-|a|$
[/mm]
Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und wählen wir [mm] $\delta=\sqrt{a^2+\frac{\varepsilon}{2}}-|a|$, [/mm] so gilt für [mm] $|x-a|<\delta|: [/mm] \ [mm] |f(x)-f(a)|=....\le...<\varepsilon$
[/mm]
Dabei gehört die obige Abschätzung auf ein Schmierblatt, wie du an das [mm] $\delta$ [/mm] kommst, interessiert niemanden.
Den Beweis fängst du bei ROT an
[mm] \underline{2.Variante}:
[/mm]
Sei o.E. $|x-a|<1$
Dann ist $|f(x)-f(a)|=2|x-a||x+a|<2|x-a|(1+2|a|)$ siehe auch oben
hier beginnt wieder der Beweis
Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und wähle [mm] $\delta:=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{2(1+2|a|)}\right\}$, [/mm] so gilt für alle $x$ mit [mm] $|x-a|<\delta$:
[/mm]
(beachte, dass, wenn [mm] $\delta<\min\{s,t\}$, [/mm] so ist [mm] $\delta
[mm] $|f(x)-f(a)|=2|x-a||x+a|\le \red{|x-a|}2(1+2|a|)<\red{\frac{\varepsilon}{2(1+2|a|)}}\cdot{}2(1+2|a|)=\varepsilon$
[/mm]
Und genau das war zu zeigen ...
Gruß
schachuzipus
>
> Bitte um Hilfe
> TheBozz-mismo
>
|
|
|
|
