Diff'barkeit f(x) in x0 < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 Do 08.01.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Differenzieren Sie die folgende Funktion:
[mm] (2x)^{\sqrt{x}} [/mm] |
Das Ableiten an sich stellt eigtl kein Problem dar, aber ich bin mir hier nicht sicher, ob die Funktion auch in [mm] x_0=0 [/mm] diff'bar ist?
Wenn ich versuche folgenden Grenzwert zu errechnen um die diff'barkeit in [mm] x_0=0 [/mm] zu prüfen, dann bekomme ich eine ganze Menge unbestimmter Ausdrücke :(
[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow 0}\bruch{(2*(\Delta x+x_0))^{\sqrt{\Delta x+x_0}}-x_0^{\sqrt{x_0}}}{\Delta x}
[/mm]
Ich könnte noch so umformen:
[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow 0}\bruch{e^{ln(2*(\Delta x+x_0))*\sqrt{\Delta x+x_0}}-e^{ln(x_0)*\sqrt{x_0}}}{\Delta x}
[/mm]
Nur bringt mich das irgendwie nicht weiter...
Ich dneke mal hier gibt's irgendeinen anderen Trick (Substitution?) oder habe ich mir hier völlig falsche Gedanken gemacht wegen der Differenzierbarkeit? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Danke und Gruß,
tedd
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Damit die Funktion bei x=0 diff'bar ist, müssen doch der links- und der rechtsseitige Grenzwert gleich sein. Einen linksseitigen Grenzwert gibt es gar nicht (wg. [mm] \wurzel{x}). [/mm] Außerdem ist die Funktion bei x=0 nicht definiert. Natürlich kannst Du überprüfen, ob sie da stetig ergänzbar ist, dazu würdest Du genau Deinen Limes verwenden - aber wozu eigentlich?
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Do 08.01.2009 | | Autor: | tedd |
Unser Prof. meinte, wir müssen wenn wir Ableiten immer mituntersuchen ob es Stellen gibt die nicht diff'bar sind.
Wenn die Funktion in [mm] x_0=0 [/mm] nicht definiert ist würde das als Begründung ja schon reichen aber wie genau mache ich das?
Es gibt keinen linksseitigen Grenzwert für [mm] \limes_{x\rightarrow 0}2*x^{\sqrt{x}} [/mm] und daher ist die Funktion an dieser Stelle nicht definiert also auch nicht differenzierbar?
Danke und Gruß,
tedd
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Es sind zwei unabhängige Begründungen, such Dir eine aus.
Bei x=0 ergäbe sich nach Funktionsvorschrift [mm] 0^0, [/mm] das ist ein nicht definierter Ausdruck.
Selbst wenn der Punkt stetig ergänzbar wäre, bliebe aber noch das Problem mit dem linksseitigen Grenzwert.
Es ist sozusagen doppelt sicher, dass die Funktion bei x=0 nicht diff'bar ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:48 Do 08.01.2009 | | Autor: | tedd |
Gut dann weis ich bescheid :)
Danke für die Antwort reverend.
Besten Gruß,
tedd
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Do 08.01.2009 | | Autor: | tedd |
Sorry, ich habe gerade nochmal drüber nachgedacht und habe jetzt irgendwie einen Knoten im Hirn:
Nur weil der linksseitige Grenzwert nicht exisitert, heisst das doch nicht, dass dort die Funktion nicht definiert ist sondern nur, dass die Funktion dort nicht stetig ist oder?
Und wenn eine Funktion nicht stetig ist, dann ist sie dort auch nicht ableitbar, denn wenn sie dort ableitbar wäre, wäre sie dort auch stetig...
der linksseitige Grenzwert in der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] zu [mm] f(x)=\sqrt{x} [/mm] ... existiert der oder nicht? Denn [mm] f(x)=\sqrt{x} [/mm] ist doch für alle [mm] x\in\IR^{+} [/mm] inlusive 0 definiert(aber f(x) ist an [mm] x_0=0 [/mm] nicht ableitbar).
Sorry bin gerade leicht verwirrt.
Gruß,
tedd
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Nein, das sind zwei verschiedene Sachen.
1) Die Funktion ist bei x=0 nicht definiert, also dort auch nicht stetig.
2) Die Funktion hat bei x=0 keinen linksseitigen Grenzwert, ist dort also nicht differenzierbar.
Wenn 1) klar ist, braucht man 2) eigentlich nicht mehr zu untersuchen.
Im übrigen ist keine Aussage darüber getroffen, ob der rechtsseitige Grenzwert existiert. (er beträgt m.E. 1, aber das tut eigentlich nichts mehr zur Sache)
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:49 Do 08.01.2009 | | Autor: | tedd |
Okay danke reverend :)
Gruß,
tedd
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