Diff.barkeit der Funktionen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Yuumura |
| Aufgabe | Für welche X R sind folgende Funktionen Differenzierbar ?
Bestimmten sie die Ableitungen
[mm] \left| x \right| [/mm] ^3
und [mm] e^\bruch{1}{x}
[/mm]
|
Schönen guten Tag,
Ich habe leider die Schule gewechselt, und da wir Differentialrechnung nie hatten, muss ich mir alles selbstständig nachholen über Wikipedia, Büchern etc...
Leider weiss ich nicht so recht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.
Ich weiss durch Wikipedia, was eine Definitionslücke ist, und dass eine Funktion dort Differentierbar ist, wo sie eben stetig ist bzw. definiert (in ordnung) und wenn der Grenzwert des Differentialquotienten an einer Stelle Existiert (Das verstehe ich nicht.)
Dieser Satz steht auch in meinen Büchern, aber es steht nirgends, was der Differentialquotient ist bzw. was man denn nun "rechnen" soll.
In der Musterlösung stand ungefähr [mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
x>0, & \mbox{wenn }n\mbox{ gerade} \\
x<0, & \mbox{wenn }n\mbox{ ungerade}
\end{matrix}\right. [/mm]
. Das heisst ja soviel wie, für X Positiv und Negativ ist die Funktion differentierbar, nur für 0 nicht.
Aber wie genau rechnet man soetwas möglichst einfach aus ?
Bei den Ableitungen muss ich bei |x|
einmal für [mm] -x^3 [/mm] und [mm] +x^3 [/mm] ableiten oder ?
Jedenfalls war das die definition von den Betragsstrichen, als ich das nachgeschlagen habe.
Vielen Dank im Vorraus für die Hilfe !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Yuumura |
Achja ich hab bei der Darstellung der Lösung einen Fehler beim kopieren gemacht und wiess leider nicht, wie man editiert.
Und zwar sind die Lösungen nur X< 0 und X> 0 ohne die Sache mit Gerade und ungerade, sorry.
|
|
|
| |
|
Hi, Yuumura,
> Für welche X R sind folgende Funktionen Differenzierbar ?
> Bestimmten sie die Ableitungen
>
> [mm]\left| x \right|[/mm] ^3
>
> und [mm]e^\bruch{1}{x}[/mm]
> Ich weiss durch Wikipedia, was eine Definitionslücke ist,
> und dass eine Funktion dort Differentierbar ist, wo sie
> eben stetig ist bzw. definiert (in ordnung) und wenn der
> Grenzwert des Differentialquotienten an einer Stelle
> Existiert (Das verstehe ich nicht.)
Geht meist auch ohne Differenzenquotient, nämlich mit Hilfe der Ableitung.
f(x)= |x| ^{3} = [mm] \left\{\begin{matrix}
x^{3}, & \mbox{wenn } x \ge 0 \\
-x^{3}, & \mbox{wenn } x < 0
\end{matrix}\right. [/mm]
Da weist man nun erst mal die Stetigkeit für x = 0 nach
(Wie das geht weißt Du aber?!)
und bildet anschließend die 1. Ableitung:
f'(x)= [mm] \left\{\begin{matrix}
3x^{2}, & \mbox{wenn } x > 0 \\
-3x^{2}, & \mbox{wenn } x < 0
\end{matrix}\right. [/mm]
Wenn Du nun die beiden Grenzwerte [mm] \
[/mm]
[mm] limes_{x\rightarrow 0+} [/mm] f'(x) und [mm] limes_{x\rightarrow 0-} [/mm] f'(x)
berechnest, wirst Du sehen, dass beide Male dasselbe rauskommt.
Ergebnis: Die Funktion ist differenzierbar bei x=0 und somit in ihrer gesamten Definitionsmenge.
(Für x > 0 und für x < 0 ist sie als ganzrationale Funktion bekanntermaßen differenzierbar.)
Die 2. Funktion y = [mm] e^{1/x} [/mm] besitzt bei x=0 eine Definitionslücke, ist daher für x=0 schon mal nicht stetig, folglich erst recht nicht differenzierbar.
Die Ableitung kannst Du also nur für x [mm] \not= [/mm] 0 berechnen und zwar mit Hilfe der Kettenregel:
f'(x) = [mm] e^{1/x}*(-\bruch{1}{x^{2}}) =-\bruch{e^{1/x}}{x^{2}}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:47 Di 02.12.2008 | | Autor: | Yuumura |
Vielen Dank für die Antwort, die hat mir schonmal weitergeholfen..
Ähm wie man die stetigkeit von X = 0 nachweisst hmm... etwas unsicher bin ich mir, da mir die Grundlagen fehlen ...
Also nach der definition würde ich X = 0 einfach einsetzen und schaun ob's aufgeht ?
Du hast danach den Linken und den rechten Grenzwert in die Ableitung gesetzt... ich schätze mal, weil du den Grenzwert nachweisen wolltest, dieser existiert ja, wenn rechter und linker Grenzwert übereinstimmen...
Aber wie kommst du nochmal auf X -> 0+- ?
Weil du die Diffbarkeit in 0 nachweisen wolltest ?
|
|
|
| |
|
> Vielen Dank für die Antwort, die hat mir schonmal
> weitergeholfen..
>
> Ähm wie man die stetigkeit von X = 0 nachweisst hmm...
> etwas unsicher bin ich mir, da mir die Grundlagen fehlen
> ...
>
> Also nach der definition würde ich X = 0 einfach einsetzen
> und schaun ob's aufgeht ?
Das ist ein Teil der Überprüfung: die Funktion muss an der betreffenden Stelle definiert sein und einen endlichen Funktionswert besitzen.
Der andere Teil ist wieder eine Überprüfung, ob eine linksseitige und eine rechtsseitige Annäherung zum selben Grenzwert führen.
All das ist an der Stelle x=0 erfüllt. Die Funktion [mm] f(x)=|x|^3 [/mm] ist somit überall stetig.
>
> Du hast danach den Linken und den rechten Grenzwert in die
> Ableitung gesetzt... ich schätze mal, weil du den Grenzwert
> nachweisen wolltest, dieser existiert ja, wenn rechter und
> linker Grenzwert übereinstimmen...
> Aber wie kommst du nochmal auf X -> 0+- ?
> Weil du die Diffbarkeit in 0 nachweisen wolltest ?
Ja, allerdings durch die Überprüfung der Stetigkeit der (ersten) Ableitung.
Wenn Du weitere Ableitungen Deiner Funktion überprüfst, stellst Du fest, dass auch die zweite Ableitung existiert und stetig ist, aber die dritte Ableitung ist bei x=0 nicht mehr stetig.
Das ist übrigens hartes Brot, sich Differentialrechnung (und womöglich ihre Schwester, die Integralrechnung) selbst beizubringen.
Du kannst gern mit Deinen Fragen hierher kommen, da wird sich normalerweise jemand finden, der sie beantwortet.
Möglicherweise ist es aber gerade bei einem Schulwechsel zu überlegen, für begrenzte Zeit Einzelunterricht außerhalb der Schule zu nehmen, wenn Du Dir das leisten kannst.
Bisher sieht es bei diesem Thema aber gar nicht so aus, als sei das nötig.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:50 Di 02.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hi, Yuumura,
>
> > Für welche X R sind folgende Funktionen Differenzierbar ?
> > Bestimmten sie die Ableitungen
> >
> > [mm]\left| x \right|[/mm] ^3
> >
> > und [mm]e^\bruch{1}{x}[/mm]
>
> > Ich weiss durch Wikipedia, was eine Definitionslücke ist,
> > und dass eine Funktion dort Differentierbar ist, wo sie
> > eben stetig ist bzw. definiert (in ordnung) und wenn der
> > Grenzwert des Differentialquotienten an einer Stelle
> > Existiert (Das verstehe ich nicht.)
>
> Geht meist auch ohne Differenzenquotient, nämlich mit Hilfe
> der Ableitung.
>
> f(x)= |x| ^{3} = [mm]\left\{\begin{matrix}
x^{3}, & \mbox{wenn } x \ge 0 \\
-x^{3}, & \mbox{wenn } x < 0
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> Da weist man nun erst mal die Stetigkeit für x = 0 nach
> (Wie das geht weißt Du aber?!)
> und bildet anschließend die 1. Ableitung:
>
> f'(x)= [mm]\left\{\begin{matrix}
3x^{2}, & \mbox{wenn } x > 0 \\
-3x^{2}, & \mbox{wenn } x < 0
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> Wenn Du nun die beiden Grenzwerte [mm]\[/mm]
> [mm]limes_{x\rightarrow 0+}[/mm] f'(x) und [mm]limes_{x\rightarrow 0-}[/mm]
> f'(x)
> berechnest, wirst Du sehen, dass beide Male dasselbe
> rauskommt.
> Ergebnis: Die Funktion ist differenzierbar bei x=0
das gilt aber nur, wenn man vorher schon weiß, dass f' stetig ist !!!!!
Woher weiß man das ???
FRED
> und
> somit in ihrer gesamten Definitionsmenge.
> (Für x > 0 und für x < 0 ist sie als ganzrationale
> Funktion bekanntermaßen differenzierbar.)
>
> Die 2. Funktion y = [mm]e^{1/x}[/mm] besitzt bei x=0 eine
> Definitionslücke, ist daher für x=0 schon mal nicht stetig,
> folglich erst recht nicht differenzierbar.
>
> Die Ableitung kannst Du also nur für x [mm]\not=[/mm] 0 berechnen
> und zwar mit Hilfe der Kettenregel:
> f'(x) = [mm]e^{1/x}*(-\bruch{1}{x^{2}}) =-\bruch{e^{1/x}}{x^{2}}[/mm]
>
> mfG!
> Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 Di 02.12.2008 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Fred,
> das gilt aber nur, wenn man vorher schon weiß, dass f'
> stetig ist !!!!!
>
> Woher weiß man das ???
Es gilt doch der Satz:
Ist f an einer Stelle [mm] x_{o} [/mm] stetig
und existieren die Grenzwerte
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{o}+h}f'(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow x_{o}-h}f'(x)
[/mm]
und sind diese beiden gleich,
so ist f an der Stelle [mm] x_{o} [/mm] differenzierbar.
Ohne diesen Satz wäre die Differenzierbarkeit so mancher (abschnittsweise definierter) Funktion (zumindest im Bereich der Schulmathematik) kaum nachzuweisen!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
|
