Diff. Gleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Mi 28.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
| Aufgabe | Löse die Differentialgleichung: [mm] T'(t)=\beta \cdot (T_A-T(t)) [/mm] mit [mm] \beta [/mm] > 0
Bei t=0 ist [mm] T(0)=T_0 [/mm] |
Hallo,
Da ich in dem Thema leider noch nicht so fit bin, würde ich gerne erstmal wissen, ob mein prinzipielles Vorgehen richtig wäre.
Ich hätte jetzt gesagt, dass die DGL linear ist.
Nun würde ich zunächst alle T(t) auf die linke Seite bringen und die homogene Lösung bestimmen.
Danach die inhomogene.
Ist das alles richtig?
Gruß Hans
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Hallo Hans80,
> Löse die Differentialgleichung: [mm]T'(t)=\beta \cdot (T_A-T(t))[/mm]
> mit [mm]\beta[/mm] > 0
>
> Bei t=0 ist [mm]T(0)=T_0[/mm]
>
> Hallo,
>
> Da ich in dem Thema leider noch nicht so fit bin, würde
> ich gerne erstmal wissen, ob mein prinzipielles Vorgehen
> richtig wäre.
>
> Ich hätte jetzt gesagt, dass die DGL linear ist.
Ja, und von 1. Ordnung.
> Nun würde ich zunächst alle T(t) auf die linke Seite
> bringen und die homogene Lösung bestimmen.
>
>
> Danach die inhomogene.
>
> Ist das alles richtig?
>
Ja, das ist alles richtig.
> Gruß Hans
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Mi 28.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Hallo Mathepower,
danke erstmal.
Wenn ich mich nicht täusche, müsste die DGL doch auch separierbar sein, oder?
Wenn ja würde mir das den Rechenweg deutlich erleichtern?
Ich würde jetzt also behaupten, dass die DGL sowohl linear ist und auch separierbar.
Gruß Hans
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Hallo Hans80,
> Hallo Mathepower,
> danke erstmal.
>
> Wenn ich mich nicht täusche, müsste die DGL doch auch
> separierbar sein, oder?
Klar ist sie das.
> Wenn ja würde mir das den Rechenweg deutlich
> erleichtern?
>
Sicher.
> Ich würde jetzt also behaupten, dass die DGL sowohl linear
> ist und auch separierbar.
>
> Gruß Hans
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Mi 28.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Ok, danke.
Dann werd ich demnächst mal nen rechenweg posten.
Gruß hans
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mi 28.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
So, hab das mal mit der Separation der Variablen gemacht.
Vorab noch eine Frage:
Wenn ich die gegebene Form der Differentialgleichung habe, so steht diese am Anfang immer mit den Abhängigkeiten da. (Also [mm] T'(\red{t}) [/mm] und [mm] T(\red{t}))
[/mm]
Ich verstehe nicht ganz wann ich diese in der Rechnung weglassen kann, darf oder muss.
Aber hier erst mal mein Rechenweg:
[mm] T'(t)=\alpha \cdot (T_A-T(t))
[/mm]
Leibnitz:
[mm] \frac{dT}{dt}=\alpha \cdot (T_A-T(t))
[/mm]
[mm] \integral_{}^{} \frac{1}{T_A-T(\red{t}) dT}=\alpha \cdot [/mm] dt Hier in der Zeile weiß ich nicht ob das [mm] (\red{t}) [/mm] dahin gehört?
[mm] T_A-T(\red{t})=e^{-\alpha \cdot t}\cdot c^{C*}
[/mm]
[mm] T(\red{t})=T_A-e^{-\alpha \cdot t}\cdot c^{C*}
[/mm]
mit [mm] T(0)=T_0 [/mm] ergibt sich für C: [mm] C=ln(|T_A-T_0|)
[/mm]
Und damit [mm] T(\red{t})=T_A+e^{-\alpha \cdot t} \cdot (T_0-T_A) [/mm] In der Zeile bin ich mir sicher, dass das [mm] (\red{t}) [/mm] hingehört.
Wäre froh wenn mir die genauen Notationen erklären könnte und sagen kann ob mein Rechnweg richtig ist.
Gruß und danke,
Hans
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Hallo Hans80,
> So, hab das mal mit der Separation der Variablen gemacht.
>
> Vorab noch eine Frage:
>
> Wenn ich die gegebene Form der Differentialgleichung habe,
> so steht diese am Anfang immer mit den Abhängigkeiten da.
> (Also [mm]T'(\red{t})[/mm] und [mm]T(\red{t}))[/mm]
>
> Ich verstehe nicht ganz wann ich diese in der Rechnung
> weglassen kann, darf oder muss.
>
> Aber hier erst mal mein Rechenweg:
>
> [mm]T'(t)=\alpha \cdot (T_A-T(t))[/mm]
>
> Leibnitz:
>
> [mm]\frac{dT}{dt}=\alpha \cdot (T_A-T(t))[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{} \frac{1}{T_A-T(\red{t}) dT}=\alpha \cdot[/mm] dt
> Hier in der Zeile weiß ich nicht ob das [mm](\red{t})[/mm] dahin
> gehört?
>
Das [mm](\red{t})[/mm] gehört da nicht hin,
da Du ja die Variablen trennst.
> [mm]T_A-T(\red{t})=e^{-\alpha \cdot t}\cdot c^{C*}[/mm]
>
> [mm]T(\red{t})=T_A-e^{-\alpha \cdot t}\cdot c^{C*}[/mm]
>
> mit [mm]T(0)=T_0[/mm] ergibt sich für C: [mm]C=ln(|T_A-T_0|)[/mm]
>
> Und damit [mm]T(\red{t})=T_A+e^{-\alpha \cdot t} \cdot (T_0-T_A)[/mm]
> In der Zeile bin ich mir sicher, dass das [mm](\red{t})[/mm]
> hingehört.
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wäre froh wenn mir die genauen Notationen erklären
> könnte und sagen kann ob mein Rechnweg richtig ist.
>
> Gruß und danke,
> Hans
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Mi 28.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Ok, danke.
Kann ich also sagen, dass ich ab dem Punkt, ab dem ich meine Ableitung T'(t) in Leibnitz schreibweise umforme keine Abhängigkeiten mehr in der Rechnung auftreten dürfen?
Nur dann eben zum Schluss, wo ich die allegemeine Lösung angebe?
Gruß Hans
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Hallo Hans80,
> Ok, danke.
>
> Kann ich also sagen, dass ich ab dem Punkt, ab dem ich
> meine Ableitung T'(t) in Leibnitz schreibweise umforme
> keine Abhängigkeiten mehr in der Rechnung auftreten
> dürfen?
> Nur dann eben zum Schluss, wo ich die allegemeine Lösung
> angebe?
>
Ja, das kannst Du sagen.
> Gruß Hans
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 28.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Alles klar,
Vielen dank für deine Hilfe.
Gruß
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