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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Di 23.12.2008 | | Autor: | Joan2 |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR \to \IR [/mm] definiert durch
f(x) = [mm] \integral_{0}^{h(x)}{g(x,t) dt}
[/mm]
Zeigen Sie
f'(x) = [mm] \integral_{0}^{h(x)}{\bruch{\partial g}{\partial x}(x,t) dt} [/mm] + g(x,h(x))h'(x)
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Ich habe schonmal folgendes versucht:
f(x+a) - f(x) = [mm] \integral_{0}^{h(x+a)}{g(x+a,t) dt} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{h(x)}{g(x,t) dt}
[/mm]
Zerlegung der Integrationsgrenzen:
f(x+a) - f(x) = [mm] \integral_{0}^{h(x)}{g(x,t) dt} [/mm] + [mm] \integral_{h(x)}^{h(x+a)}{g(x+a,t) dt} [/mm]
Nutze Hauptsatz der Integralrechnung:
f(x+a) - f(x) = [mm] \integral_{0}^{h(x)}{g(x,t) dt} [/mm] + [h(x+a) - h(x)]g(x+a,k)
Teile durch a:
[mm] \bruch{f(x+a) - f(x)}{a} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{h(x+a)}{\bruch{g(x+a,t)} a dt} [/mm] + [mm] \bruch{[h(x+a) - h(x)]}{a}g(x+a,k)
[/mm]
limes a [mm] \to [/mm] 0:
f'(x) = ................. + g(x,h(x)h'(x)) , k = h(x) wenn a [mm] \to [/mm] 0
Wie komme ich an dieser Stelle zu [mm] \bruch{\partial g}{\partial x}(x,t) [/mm] ? Dieser Schritt fehlt mir noch :(
Weiß jemand weiter?
Liebe Grüße
Joan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Mi 24.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> Ich habe schonmal folgendes versucht:
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> f(x+a) - f(x) = [mm]\integral_{0}^{h(x+a)}{g(x+a,t) dt}[/mm] - [mm]\integral_{0}^{h(x)}{g(x,t) dt}[/mm]
Schon mal ein guter Anfang.
> Zerlegung der Integrationsgrenzen:
>
> f(x+a) - f(x) = [mm]\integral_{0}^{h(x)}{g(x,t) dt}[/mm] + [mm]\integral_{h(x)}^{h(x+a)}{g(x+a,t) dt}[/mm]
Du meinst wohl $$f(x+a) - f(x) = [mm] \integral_{0}^{h(x+a)}{g(x+a,t) dt}-\integral_0^{h(x)}{g(x,t) dt}=\int_0^{h(x)}\left[g(x+a,t)-g(x,t)\right] dt+\int_{h(x)}^{h(x+a)}g(x+a,t)dt$$ [/mm] Jetzt kümmern wir uns um die zwei Summanden dieser rechten Seite.
Der erste Summand ist schon gut, denn [mm] $$\lim_{a\to0}\int_0^{h(x)}\frac{g(x+a,t)-g(x,t)}{a} dt\stackrel{\text{?}}{=}\int_0^{h(x)}\lim_{a\to0}\frac{g(x+a,t)-g(x,t)}{a} dt=\int_0^{h(x)}\frac{\partial g}{\partial x}(x,t)dt$$ [/mm] ist genau, was wir wollen, vorausgesetzt g ist im Punkt x überhaupt partiell nach dem ersten Argument differenzierbar und wir dürfen den Grenzwert ins Integral reinziehen... und das ist überhaupt nicht klar, da müsstest du mindestens mal erwähnen was für einen Integralbegriff wir hier überhaupt verwenden und welche tollen Eigenschaften g sonst noch so hat...
Auf den zweiten wendest du den Mittelwertsatz der Integralrechnung an:
[mm] $$\frac{\int_{h(x)}^{h(x+a)}g(x+a,t)dt}{a}=\frac{h(x+a)-h(x)}{a}\cdot g(x+a,\xi)\text{ für ein }\xi\in\left(h(x),h(x+a)\right)$$ [/mm] Jetzt benötigen wir die Differenzierbarkeit von h im Punkt x (die du in deinen Voraussetzungen auch nicht erwähnt hast) und erhalten im Grenzübergang [mm]a\to 0[/mm] [mm] $$\lim_{a\to0}\frac{h(x+a)-h(x)}{a}\cdot g(x+a,\xi)=h'(x)\cdot [/mm] g(x,h(x))$$ denn [mm]\xi\to h(x)[/mm] nach Definition von [mm] $\xi$ [/mm] , da h diffbar (also stetig) in x ist! Weiter braucht man hier die Stetigkeit von g im Punkt (x,h(x)).
Damit ist alles gezeigt.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Mi 24.12.2008 | | Autor: | Joan2 |
Boah Hammer! ^^ Dank dir für deine super Hilfe. Das is voll das Weihnachtsgeschenk für mich :D
Ganz liebe Grüße
Joan
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