Diese Primzahl gibts nicht < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] n\in \mathbb{N}.
[/mm]
Behauptung: [mm] \exists \textbf{keine} [/mm] Primzahl p, für die gilt:
[mm] n!+2\leq p\leq [/mm] n!+n. |
Hallo,
ich verzweifele an dieser Aufgabe so langsam.
Ich habe die Gleichung mit mehreren Werten für n überprüft, um vllt auf einen Beweisansatz zu kommen, es aber nicht geschafft.
Dann habe ich angenommen, dass es eine solche Primzahl p doch gibt.
Ich weiß, dass es für alle [mm] n\in \mathbb{N} [/mm] eine Primzahl p gibt, für die gilt:
[mm] n
Ich habe mir dann einfach den Teil 2n genommen und in die Behauptung für p eingesetzt, also:
[mm] 2n\geq [/mm] n!+2.
Das liefert dann: [mm] 1\geq \frac{(n-1)!}{2}+1. [/mm] Theoretisch habe ich nun keine [mm] n\in \mathbb{N} [/mm] gefunden, sodass die Gleichung gilt und müsste doch somit einen Widerspruch haben, oder nicht?
Allerdings finde ich diese Argumentationsart nicht sehr überzeugend, m.a.W. ich glaube, dass man es so nicht machen kann.
Wie kann ich die Sache besser angehen?
Gruß T_Sleeper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 Di 20.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Sei [mm]n\in \mathbb{N}.[/mm]
> Behauptung: [mm]\exists \textbf{keine}[/mm]
> Primzahl p, für die gilt:
> [mm]n!+2\leq p\leq[/mm] n!+n.
> Hallo,
>
> ich verzweifele an dieser Aufgabe so langsam.
> Ich habe die Gleichung mit mehreren Werten für n
> überprüft, um vllt auf einen Beweisansatz zu kommen, es
> aber nicht geschafft.
>
> Dann habe ich angenommen, dass es eine solche Primzahl p
> doch gibt.
> Ich weiß, dass es für alle [mm]n\in \mathbb{N}[/mm] eine Primzahl
> p gibt, für die gilt:
> [mm]n
> Ich habe mir dann einfach den Teil 2n genommen und in die
> Behauptung für p eingesetzt, also:
> [mm]2n\geq[/mm] n!+2.
> Das liefert dann: [mm]1\geq \frac{(n-1)!}{2}+1.[/mm] Theoretisch
> habe ich nun keine [mm]n\in \mathbb{N}[/mm] gefunden, sodass die
> Gleichung gilt und müsste doch somit einen Widerspruch
> haben, oder nicht?
>
> Allerdings finde ich diese Argumentationsart nicht sehr
> überzeugend, m.a.W. ich glaube, dass man es so nicht
> machen kann.
>
> Wie kann ich die Sache besser angehen?
>
> Gruß T_Sleeper
Hallo,
n! ist durch jede der Zahlen von 1 bis n teilbar. Klar?
Dann es n! auch durch 2 teilbar. Ist dann n!+2 eine Primzahl?
Es ist n! auch durch 3 teilbar. Ist dann n!+3 eine Primzahl?
Es ist n! auch durch 4 teilbar. Ist dann n!+4 eine Primzahl?
...
Es ist n! auch durch n teilbar. Ist dann n!+n eine Primzahl?
Gruß Abakus
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> Hallo,
> n! ist durch jede der Zahlen von 1 bis n teilbar. Klar?
> Dann es n! auch durch 2 teilbar. Ist dann n!+2 eine
> Primzahl?
> Es ist n! auch durch 3 teilbar. Ist dann n!+3 eine
> Primzahl?
> Es ist n! auch durch 4 teilbar. Ist dann n!+4 eine
> Primzahl?
> ...
> Es ist n! auch durch n teilbar. Ist dann n!+n eine
> Primzahl?
> Gruß Abakus
>
Ja genau. Damit sind die Gleichheitszeichen schonmal ausgeschlossen, trotzdem ist dann doch noch folgendes möglich: [mm] \exists [/mm] p prim mit:
n!+2<p<n!+n.
Das muss ich auch noch ausschließen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Di 20.10.2009 | | Autor: | abakus |
> > Hallo,
> > n! ist durch jede der Zahlen von 1 bis n teilbar.
> Klar?
> > Dann es n! auch durch 2 teilbar. Ist dann n!+2 eine
> > Primzahl?
> > Es ist n! auch durch 3 teilbar. Ist dann n!+3 eine
> > Primzahl?
> > Es ist n! auch durch 4 teilbar. Ist dann n!+4 eine
> > Primzahl?
> > ...
> > Es ist n! auch durch n teilbar. Ist dann n!+n eine
> > Primzahl?
> > Gruß Abakus
> >
> Ja genau. Damit sind die Gleichheitszeichen schonmal
> ausgeschlossen, trotzdem ist dann doch noch folgendes
> möglich: [mm]\exists[/mm] p prim mit:
> n!+2<p<n!+n.
> Das muss ich auch noch ausschließen.
Hallo,
ich habe dir gerade vorgemacht, dass jede der Zahlen n!+2 bis n!+n einen Teiler aus dem Bereich 2 bis n haben MUSS.
Gruß Abaus
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