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| Aufgabe | Die Diedergruppe [mm] D_{2n} [/mm] kann beschrieben werden als [mm] $D_2n=<\sigma,\tau>$ [/mm] mit [mm] ord(\sigma)=n [/mm] und [mm] ord(\tau)=2 [/mm] und [mm] \tau\sigma\tau=\sigma^{-1}.
[/mm]
i) Wieviel Elemente hat [mm] D_{2n}?
[/mm]
ii) Beschreiben sie [mm] D_{2n} [/mm] mengentheoretisch vermittels Wörter in [mm] \sigma [/mm] und [mm] \tau. [/mm] |
Nimmt man die Definition der Wörter folgt, dass [mm] $<\sigma,\tau>$ [/mm] die Menge aller endlichen Produkte mit den Faktoren [mm] \{-1,1\} [/mm] ist, also [mm] \{\sigma^{-1},\sigma^1,tau^{-1},\tau^1\}.
[/mm]
Da [mm] \tau^2=e [/mm] folgt [mm] \tau^{-1}=\tau [/mm] und
da [mm] \sigma^n=e [/mm] folgt [mm] \sigma^{-1}=\sigma^{n-1}
[/mm]
Damit lässt sich [mm] D_{2n}=\{\tau^i*\sigma^j|i\in\{0,1\},j\in\{0,...,(n-1)\}\}
[/mm]
Daraus ergibt sich [mm] |D_{2n}|=2n.
[/mm]
Damit hätte ich doch i) und ii) beantwortet, oder?
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> Die Diedergruppe [mm]D_{2n}[/mm] kann beschrieben werden als
> [mm]D_2n=<\sigma,\tau>[/mm] mit [mm]ord(\sigma)=n[/mm] und [mm]ord(\tau)=2[/mm] und
Meistens wird die dann aber mit [mm] $D_n$ [/mm] bezeichnet. Aber so geht es auch.
> [mm]\tau\sigma\tau=\sigma^{-1}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> i) Wieviel Elemente hat [mm]D_{2n}?[/mm]
> ii) Beschreiben sie [mm]D_{2n}[/mm] mengentheoretisch vermittels
> Wörter in [mm]\sigma[/mm] und [mm]\tau.[/mm]
> Nimmt man die Definition der Wörter folgt, dass
> [mm]<\sigma,\tau>[/mm] die Menge aller endlichen Produkte mit den
> Faktoren [mm]\{-1,1\}[/mm] ist, also
> [mm]\{\sigma^{-1},\sigma^1,tau^{-1},\tau^1\}.[/mm]
>
> Da [mm]\tau^2=e[/mm] folgt [mm]\tau^{-1}=\tau[/mm] und
> da [mm]\sigma^n=e[/mm] folgt [mm]\sigma^{-1}=\sigma^{n-1}[/mm]
>
> Damit lässt sich
> [mm]D_{2n}=\{\tau^i*\sigma^j|i\in\{0,1\},j\in\{0,...,(n-1)\}\}[/mm]
Ich kenne leider den Begriff des Wortes in diesem Zusammenhang nicht.
> Daraus ergibt sich [mm]|D_{2n}|=2n.[/mm]
Naja nicht wirklich. Ist zwar richtig. Jedoch sollte man noch begründen, dass die Element alle unterschiedlich sind. Sonst behaupte ich [mm] $|\{1,2,2,3\}|=4$ [/mm]
ii) Ich denke da eher in die Richtung einer "reflektierende Glasfläche" 
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> > Die Diedergruppe [mm]D_{2n}[/mm] kann beschrieben werden als
>
> > [mm]D_2n=<\sigma,\tau>[/mm] mit [mm]ord(\sigma)=n[/mm] und [mm]ord(\tau)=2[/mm] und
> Meistens wird die dann aber mit [mm]D_n[/mm] bezeichnet. Aber so
> geht es auch.
> > [mm]\tau\sigma\tau=\sigma^{-1}.[/mm]
>
> > i) Wieviel Elemente hat [mm]D_{2n}?[/mm]
> > ii) Beschreiben sie [mm]D_{2n}[/mm] mengentheoretisch vermittels
> > Wörter in [mm]\sigma[/mm] und [mm]\tau.[/mm]
> > Nimmt man die Definition der Wörter folgt, dass
> > [mm]<\sigma,\tau>[/mm] die Menge aller endlichen Produkte mit den
> > Faktoren [mm]\{-1,1\}[/mm] ist, also
> > [mm]\{\sigma^{-1},\sigma^1,tau^{-1},\tau^1\}.[/mm]
> >
> > Da [mm]\tau^2=e[/mm] folgt [mm]\tau^{-1}=\tau[/mm] und
> > da [mm]\sigma^n=e[/mm] folgt [mm]\sigma^{-1}=\sigma^{n-1}[/mm]
> >
> > Damit lässt sich
> > [mm]D_{2n}=\{\tau^i*\sigma^j|i\in\{0,1\},j\in\{0,...,(n-1)\}\}[/mm]
>
> Ich kenne leider den Begriff des Wortes in diesem
> Zusammenhang nicht.
Def: Ein Wort aus [mm] $S\subset [/mm] G$ ist ein [mm] x\in [/mm] G der Form [mm] $x=s_1^{e_1}*s_2^{e_2}*...*s_k^{e_k}$ [/mm] mit [mm] $e_1,...,e_k\in \{-1,1\}$ [/mm] und [mm] $s_1,...,s_k\in [/mm] S, [mm] k\in \IN$.
[/mm]
>
> > Daraus ergibt sich [mm]|D_{2n}|=2n.[/mm]
Aber ich kann doch die Elemente folgendermaßen auflisten: [mm] d_1=\tau^0*\sigma^0,d_2=\tau^0*\sigma^1,...,d_2n=\tau^1*\sigma^{n-1}. [/mm] Das wären dann 2n-viele Elemente.
Reicht das nicht??
> Naja nicht wirklich. Ist zwar richtig. Jedoch sollte man
> noch begründen, dass die Element alle unterschiedlich
> sind. Sonst behaupte ich [mm]|\{1,2,2,3\}|=4[/mm]
>
> ii) Ich denke da eher in die Richtung einer "reflektierende
> Glasfläche"
Versteh ich nicht. Ich hab doch [mm] D_{2n} [/mm] doch jetzt schon mengentheoretisch als Wörter aufgeschrieben mit [mm] D_{2n}=\{\tau^i*\sigma^j|i\in\{0,1\},j\in\{0,...,(n-1)\}\}, [/mm] oder nicht??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Di 25.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Daraus ergibt sich [mm]|D_{2n}|=2n.[/mm]
>
> Aber ich kann doch die Elemente folgendermaßen auflisten:
> [mm]d_1=\tau^0*\sigma^0,d_2=\tau^0*\sigma^1,...,d_2n=\tau^1*\sigma^{n-1}.[/mm]
> Das wären dann 2n-viele Elemente.
>
> Reicht das nicht??
Nein.
Wie wieschoo schon gesagt hat: die Menge [mm] $\{ 1, 2, 2, 3 \}$ [/mm] hat drei Elemente und nicht vier.
Du musst zeigen: ist [mm] $\tau^i \sigma^j [/mm] = [mm] \tau^k \sigma^\ell$ [/mm] mit $i, k [mm] \in \{ 0, 1 \}$ [/mm] und $j, [mm] \ell \in \{ 0, 1, \dots, n-1 \}$, [/mm] so folgt $i = k$ und [mm] $\tau [/mm] = [mm] \ell$. [/mm] Dann hast du gezeigt, dass [mm] $\{ \tau^i \sigma^j \mid i \in \{ 0, 1 \}, j \in \{ 0, 1, \dots, n-1 \} \}$ [/mm] genau $2 n$ Elemente enthaelt.
Du musst uebrigens auch noch etwas genauer begruenden, warum [mm] $D_{2n}$ [/mm] nicht noch mehr Elemente hat. Warum sind [mm] $(\tau^i \sigma^j)^{-1}$ [/mm] und [mm] $(\tau^i \sigma^j) (\tau^k \sigma^\ell)$ [/mm] wieder on der gleichen Form?
LG Felix
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Danke. Das mach ich jetzt mal.
Aber was ist mit der ii)?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 Di 25.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke. Das mach ich jetzt mal.
>
> Aber was ist mit der ii)?
Das hast du (mit-)erledigt: [mm] $D_{2n} [/mm] = [mm] \{ \tau^i \sigma^j \mid i \in \{ 0, 1 \}, j \in \{ 0, \dots, n-1 \} \}$.
[/mm]
Also sobald du gezeigt hast, dass [mm] $D_{2n}$ [/mm] wirklich gleich dieser Menge ist (und es nicht nur eine Teilmenge ist).
LG Felix
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