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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Mi 17.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | In [mm] \IR^2 [/mm] sei [mm] \sigma \in O(\IR^2) [/mm] die Drehung um den Winkel [mm] \phi=2pi/n [/mm] und [mm] \tau \in O(\IR^2) [/mm] die Spiegelung an der y-Achse, also [mm] \tau(x,y)=(-x,y) [/mm] für alle x,y [mm] \in \IR^2. [/mm] Die von [mm] \sigma [/mm] und [mm] \tau [/mm] erzeugte Untergruppe [mm] D_{2n}=<\sigma,\tau> [/mm] von [mm] O(\IR^2) [/mm] heißt Diedergruppe .
a) Zeigen Sie, dass [mm] D_{2n} [/mm] die endliche Ordnung 2n hat.
b) Bestimmen Sie alle Untergruppen von [mm] D_8.
[/mm]
c) Geben Sie alle Normalteiler von [mm] D_8 [/mm] und die zugehörigen Faktorgruppen an. |
HILFE!
Das ist die erste Aufgabe, bei der ich nichtmal den Hauch einer Ahnung habe und absolut keinen Ansatz habe.
Wer kann mir die Aufgabe verständlich machen und zu a), b) und c) erste kleine Ansatzpunkte liefern??
Ich freue mich über JEDE Hilfe!
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Hi
> In [mm]\IR^2[/mm] sei [mm]\sigma \in O(\IR^2)[/mm] die Drehung um den Winkel
> [mm]\phi=2pi/n[/mm] und [mm]\tau \in O(\IR^2)[/mm] die Spiegelung an der
> y-Achse, also [mm]\tau(x,y)=(-x,y)[/mm] für alle x,y [mm]\in \IR^2.[/mm] Die
> von [mm]\sigma[/mm] und [mm]\tau[/mm] erzeugte Untergruppe
> [mm]D_{2n}=<\sigma,\tau>[/mm] von [mm]O(\IR^2)[/mm] heißt Diedergruppe .
Zur Vorstellung genügt ein regelmäßiges n-Eck. (Bezeichne einfach jede Ecke mit 1,2,3,..,n)
Die Diedergruppe beinhaltet alle Abbildung, die Ecke auf Ecke abbildet. Zum Beispiel gehört da die Identität hinein. Spiegelungen, Drehungen.
> a) Zeigen Sie, dass [mm]D_{2n}[/mm] die endliche Ordnung 2n hat.
Du hast die Drehungen mit [mm]\sigma[/mm] bezeichnet. Wenn du bei einer Drehung dich [mm]\phi=2pi/n[/mm] bewegst. Dann bildet [mm]\sigma (1)=2,\sigma (2)=3,\ldots [/mm]
Die Spiegelachse verläuft durch die 1 und den Schwerpunkt des n-Ecks. Also hast du zusätzlich noch [mm]\tau[/mm] als Spiegelung.
Ich behaupt damit sind alle Element der Gruppe:
[mm]\sigma,\sigma^2,\ldots,\sigma^n=id,\tau,\tau*\sigma,\tau*\sigma^2,\ldots,\tau*\sigma^{n-1}[/mm] Das sollten 2n Stück sein
> b) Bestimmen Sie alle Untergruppen von [mm]D_8.[/mm]
2*8=16. Nach LAGRANGE kommen welche Untergruppen in Frage? Neben den trivialen Untergruppen gibt ja noch Untergruppen mit der Ordnung 8,4,2.
Die Untergruppe [mm]U_{mn}[/mm] (m:= Mächtigkeit, n:Nummerierung)
[mm]U_{21}=\{e,\tau\}[/mm]
...
Zur Anschauung kannst du dir auch ein regelmäßiges 8-Eck basteln.
> c) Geben Sie alle Normalteiler von [mm]D_8[/mm] und die
> zugehörigen Faktorgruppen an.
> HILFE!
>
> Das ist die erste Aufgabe, bei der ich nichtmal den Hauch
> einer Ahnung habe und absolut keinen Ansatz habe.
>
> Wer kann mir die Aufgabe verständlich machen und zu a), b)
> und c) erste kleine Ansatzpunkte liefern??
>
> Ich freue mich über JEDE Hilfe!
>
Fang an, dann sieht man weiter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:33 Do 18.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Danke! Ich glaube, die Aufgabe ist ja doch gar nicht so schwer, wie ich dachte!
Ich werde mal versuchen, sie zu lösen und dann mein Resultat hier posten.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:55 Fr 19.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Ich bitte um Durchsicht und Korrektur für meinen Lösungsvorschlag. |
zu a)
[mm] D_{2n}=<\sigma,\tau>=\{id,\sigma^{n-1},...,\sigma,\tau,\tau\sigma^{n-1},...,\tau\sigma\}=\{\sigma^k\tau^k:k=0,...,n-1 \wedge l=0,1\}
[/mm]
(Die Verknüpfung ist hier die Komposition.)
Diese Menge hat 2n Elemente.
zu b)
Untergruppen von [mm] D_8
[/mm]
Zunächst seien die Elemente der Gruppe [mm] D_8 [/mm] genannt:
[mm] D_8=\{id,(12)(38)(47)(56),(28)(37)(46),(18)(27)(36)(45),(17)(26)(35),(16)(25)(34)(78),(15)(24)(68),(14)(23)(58)(67),(13)(48)(57),(12345678),(1357)(4682),(14725836),(15)(26)(37)(48),(16385274),(1753)(4286),(18765432)\}
[/mm]
Dies sind 16 Elemente.
Nach Langrange ex. neben den trivialen Untergruppen, also [mm] U_1=\{id\},U_2=\{D_8\}, [/mm] Untergruppen der Ordnungen 2,4 und 8.
Diese lauten nach meiner Rechung:
Ordnung 2:
[mm] U_3=<(12)(38)(47)(56)>
[/mm]
[mm] U_4=<(28)(37)(46)>
[/mm]
[mm] U_5=<(18)(27)>
[/mm]
[mm] U_6=<(17)(26)(35)>
[/mm]
[mm] U_7=<(16)(25)(34)(78)>
[/mm]
[mm] U_8=<(15)(24)(68)>
[/mm]
[mm] U_9=<(14)(23)(58)(67)>
[/mm]
[mm] U_{10}=<(13)(48)(57)>
[/mm]
[mm] U_{11}=<(15)(26)(37)(48)>
[/mm]
Ordnung 4:
[mm] U_{12}=<(1357)(4682)>
[/mm]
Ordnung 8:
[mm] U_{13}=<(12345678)>
[/mm]
Weitere Untergruppen habe ich nicht ausfindig machen können.
zu c)
Normalteiler von [mm] D_8
[/mm]
<(12345678)>, da [mm] g(12345678)g^{-1} \in [/mm] <(12345678)> für alle g [mm] \in D_8
[/mm]
<(1357)(4682)>, mit der gleichen Begründung wie eben
Außerdem sind natürlich [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] Normalteiler.
[Die Untergruppen [mm] U_3 [/mm] bis [mm] U_{11} [/mm] sind keine Normalteiler, da [mm] gU_ig^{-1} \notin [/mm] für g [mm] \in D_8.]
[/mm]
Die zugehörigen Faktorgruppen für die Normalteiler sind dann
[mm] (G/U_{12}, \circ), G/U_{12}=\{gU_{12}:g \in D_8\}
[/mm]
[mm] (G/U_{13}, \circ), G/U_{13}=\{gU_{13}:g \in D_8\}
[/mm]
und analog für die trivialen Normalteiler.
Was ist falsch, was richtig?
Muss ich bei der Nennung der zugehörigen Faktorgruppen noch konkreter werden oder ist das ausreichend?
Beste Grüße und ich freue mich, wenn sich jemand die Mühe macht und mit ein Feedback gibt!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Fr 19.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
Hi,
ich konnte nur kurz überfliegen.
> zu a)
> [mm] D_{2n}=<\sigma,\tau>=\{id,\sigma^{n-1},...,\sigma,\tau,\tau\sigma^{n-1},...,\tau\sigma\}=\{\sigma^k\tau^k:k=0,...,n-1 \wedge l=0,1\} [/mm]
> (Die Verknüpfung ist hier die Komposition.)
> Diese Menge hat 2n Elemente.
Ok. Du hast gezeigt es gibt schon einmal 2n Elemente. Wie begründest du, dass es genau 2n Elemente und du nicht schon einige doppelt gezählt hast. Konkret: warum gilt nicht [mm]\sigma^r=\tau\circ \sigma ^s[/mm] für [mm]r,s\in \{1,\ldots n-1\}[/mm]?
Du kannst auch zeigen es sind genau 2n. Sei [mm]\varphi[/mm] eine Abbildung, die abstands erhaltend ist. Also [mm]\varphi(0)=0[/mm]. Dann ist [mm]1=d(0,P)=d(\varphi(0),\varphi(P))=d(0,\varphi(P))[/mm]. Es gibt aber nur Ecken, die von 0 den Abstand 1 haben. Sie bildet also von Ecke auf Ecke ab.
Behauptung: eine solche Abbildung ist durch zwei Ecken eindeutig bestimmt.
Für eine solche Abbildung gibt es nun für eine Ecke P genau n mögliche Ecken, in die es hinstupst wird. Für die weitere benachbarte Ecke Q von P gibt es nur noch 2 Möglichkeiten => exakt 2n.
Man kann das bestimmt auch allgemeiner machen ohne direkt die Zyklen anzugeben. Ist aber auch ok.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 So 21.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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