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| Aufgabe | Sei n [mm] \ge [/mm] 2. Dann gilt:
[mm] Z(D_{2n}) \not= [/mm] 1 [mm] \gdw [/mm] n [mm] \equiv0(mod2). [/mm] |
Brauche unbedingt eine Lösung, ist Klausuraufgabe!!! Und checke gar nichts,.. :o(
MfG
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Hallo und guten Tag,
die Dieder-Gruppe [mm] D_{2n} [/mm] der Drehungen und Spiegelungen des regelm. n-Ecks wird ja erzeugt durch eine Drehung um den Winkel [mm] \frac{2\pi}{n}
[/mm]
und eine Spiegelung, und es gilt [mm] |D_{2n}|=2n.
[/mm]
Du kannst Dir leicht überlegen, dass Drehungen als Kandidaten für das Zentrum
[mm] Z(D_{2n})=\{g\in D_{2n}|\forall h\in D_{2n}\:\: g\cdot h=h\cdot g\}
[/mm]
nicht in Frage kommen. Ebenfalls gilt dies für Spiegelungen, die eine Ecke des n-Ecks fix lassen (Methode: Verknüpfe
sie geeignet mit einer Drehung in beiden Weisen, um die Zentrums-Eigenschaft zu widerlegen).
Und Spiegelungen, die alle Ecken nicht-fix lassen, gibt es nur im Fall ''n gerade''.
Gruss + viel Erfolg,
Mathias
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