Die dritte Wurzel < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo Leute,
ich bin vorhin auf eine Aufgabe gestoßen, dessen Lösungsweg ich an einer Stelle nicht nachvollziehen kann.
2* [mm] \wurzel[3]{x} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{8x}, [/mm] weil [mm] 2^{3}=8
[/mm]
Mein Problem ist hier einfach nur, dass ich dachte, dass diese Regel nur bei Gleichungen funktioniert, aber hier gibt es ja keine Gleichung... Was habe ich hier falsch verstanden?
|
|
| |
|
> Hallo Leute,
>
> ich bin vorhin auf eine Aufgabe gestoßen, dessen
> Lösungsweg ich an einer Stelle nicht nachvollziehen kann.
>
> 2* [mm]\wurzel[3]{x}[/mm] = [mm]\wurzel[3]{8x}[/mm], weil [mm]2^{3}=8[/mm]
>
> Mein Problem ist hier einfach nur, dass ich dachte, dass
> diese Regel nur bei Gleichungen funktioniert, aber hier
> gibt es ja keine Gleichung... Was habe ich hier falsch
> verstanden?
2* [mm]\wurzel[3]{x}[/mm] = [mm]\wurzel[3]{8x}[/mm] ist genau so eine "Gleichung" wie 3*15=45, denn auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens steht das Gleiche.
Man spricht allerdings im Normalfall nur dann von einer Gleichung, wenn diese nach einer Variablen hin aufgelöst werden soll. Grundsätzlich gilt aber: Eine Gleichung (Term mit Gleichheitszeichen) ist eine Aussageform, die entweder wahr oder falsch ist. Eine Gleichung lösen heißt dann, herauszufinden, wann sie wahr ist. Die beiden obigen Gleichungen sind immer wahr und heißen deshalb "allgemeingültig".
Nun zu deinem Problem: Genau so, wie du für 3*5=15 schreiben kannst, kannst du für 2* [mm]\wurzel[3]{x}[/mm] nun [mm]\wurzel[3]{8x},[/mm] schreiben.
Das entspricht der Tatsache, dass z.B. auch [mm] 2^4=2*2*2*2 [/mm] ist oder (a+b)*6=a*6+b*6 oder [mm] \bruch{5a}{5b}=\bruch{a}{b}.
[/mm]
Hier wird also keine Gleichung gelöst, sondern ein mathematischer Ausdruck anders geschrieben.
|
|
|
| |
|
Okay, vielen Dank. Diesen Teil der Aufgabe habe ich nun verstanden. Ich kann nun aber den Lösungsweg nicht nachvollziehen.
Ich weiß, dass folgendes gilt:
[mm] \wurzel[3]{x} [/mm] = 2
[mm] \gdw 2^3 [/mm] = x
[mm] \gdw [/mm] 8 = x
Aber wie kommt man nun genau auf diese Umformung?
|
|
|
| |
|
> Okay, vielen Dank. Diesen Teil der Aufgabe habe ich nun
> verstanden. Ich kann nun aber den Lösungsweg nicht
> nachvollziehen.
>
> Ich weiß, dass folgendes gilt:
>
> [mm]\wurzel[3]{x}[/mm] = 2
Die linke und die rechte Seite sollen gleich sein, wobei man x aber nicht kennt.
Wenn man nur irgendetwas mit der (ganzen) linken Seite und das selbe mit der (ganzen) rechten Seite tut, muss auch das selbe wieder herauskommen.
Hier nimmt man die jeweilige Seite 3-mal mit sich selber mal.
Die 3. Wurzel aus x ist genau die (positive) Zahl, die 3-mal mit sich selber malgenommen x ergibt:
[mm]\wurzel[3]{x}*\wurzel[3]{x}*\wurzel[3]{x}[/mm] = x
2*2*2=8
>
> [mm]\gdw 2^3[/mm] = x
>
> [mm]\gdw[/mm] 8 = x
Wieso habe ich "ganze" Seite geschrieben?
Es ist z.B. 9+16=25
[mm] \gdw 3^2+4^2=5^2
[/mm]
Jetzt ziehen wir die Wurzel:
[mm] \wurzel{3^2}+\wurzel{4^2}=\wurzel{5^2}, [/mm] also
3+4=5
Aber das ist falsch, denn 3+4=7.
Beim Wurzelziehen darf man die Wurzel nicht auf einzelne Summanden verteilen. Man muss das Wurzelziehen auf die ganze Seite beziehen:
[mm] \wurzel{3^2+4^2}=\wurzel{5^2}
[/mm]
ist richtig, und links kann man die Wurzel und hoch 2 nicht miteinander verrechnen.
|
|
|
| |
|
Tut mir leid, aber ich komme immernoch nicht darauf:((
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 So 27.03.2016 | | Autor: | abakus |
Der Rechenbefehl lautet: Nimm beide Seiten hoch 3.
|
|
|
| |
|
Ich vermute mal, dass dir nicht klar ist, was [mm] \wurzel[3]{ } [/mm] bedeutet.
Es ist 2*2*2 = [mm] 2^3 [/mm] = 8
Wir fragen uns nun: Welche Zahl hoch 3 ist 8?
Diese Zahl wird [mm] \wurzel[3]{8} [/mm] genannt.
Also ist [mm] 2=\wurzel[3]{8}. [/mm] Weil [mm] 2^3=8 [/mm] ist.
Wenn wir jetzt umgekehrt die 8 suchen, haben wir die Gleichung [mm] 2=\wurzel[3]{x}. [/mm] Das Bauen wir mal in den Satz von oben ein:
Also ist [mm] 2=\wurzel[3]{8}. [/mm] Weil [mm] 2^3=8 [/mm] ist.
Also ist [mm] 2=\wurzel[3]{x}. [/mm] Weil [mm] 2^3=x [/mm] ist.
Jetzt sieht man, wie man [mm] 2=\wurzel[3]{x} [/mm] auflöst: [mm] 2^3=x, [/mm] also 8=x.
|
|
|
|
