Die Tetraederzahl < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.gutefrage.net/frage/tetraederformel-hilfe (und keine Antwort erhalten)
Für ein Mathe Referat (Gymnasium GK 11) sollte ich eine Formel finden, mit der man die Anzahl der Kugeln einer Kugelpyramide sowie die Anzahl der Kugeln auf jeder einzelnen Stufe berechnen kann.
Dazu habe ich folgendes auf Wikipedia gefunden:
Eine Tetraederzahl ist eine Zahl, die sich nach der Formel
n*(n+1)*(n+2)/6
aus einer natürlichen Zahl n berechnen lässt.
Ich habe die Formel geprüft und komme damit auf meine zuvor errechnete Folge, nur kann ich mir nicht genau erklären, wie die Formel zustande kommt. Ich würde Sie saher bitten, mir die Herleitung dieser Formel zu erläutern. Vielen Dank und lG.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 So 16.10.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo und willkommen im Matheraum,
das Problem mit den Tetraederzahlen kannst du erst einmal herunterbrechen auf Dreieckszahlen.
Tetraeder(zahlen) erhälst du, wenn du Dreiecke übereinder stapelst.
Z.B. Dreieckszahlen
1
3
6
10
15
Wie setzen sich die Dreickszahlen zusammen?
0
1 = 1
3 = 1 + 2
6 = 1 + 2 + 3
10= 1 + 2 + 3 + 4
15= 1 + 2 + 3 + 4 + 5
Für die n-te Dreickszahl [mm]D_n[/mm] (wenn n=0 die 0.-te Dreieckszahl) bezeichnet, gilt:
[mm]D_n=0+1+2+3+4+5+...+n[/mm]
Die Tetraederzahlen ergeben sich dann aus
[mm]T_n=D_1+D_2+D_3+D_4+...+D_n=\summe_{i=1}^{n} D_i[/mm]
Mit vollständiger Induktion kann man beweisen, dass [mm]T_n= \bruch{n*(n+1)*(n+2)}{6}[/mm].
Allerdings hatte ich in der 11. Klasse noch nichts von vollständiger Induktion gehört. Vielleicht hilft dir der Ansatz aber trotzdem weiter.
Gruß
barsch
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