Die Scheitelpunktform auflösen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 So 09.10.2005 | | Autor: | An-nA |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo !
In drei Tagen steht die erste Matheklausur an und ich habe bei zwei wichtigen Stunden gefehlt daher fehlt mir der Stoff (bzw. der Lösungsweg) für folgende Aufgabe:
Von [mm] y=a*x^{2}+b*x+c [/mm] zur Scheitelpunktform [mm] y=a*(x-d)^{2}+e
[/mm]
z.B.: [mm] y=-0,5*x^{2}-3*x-6,5
[/mm]
und
die Lösung:
[mm] y=-0,5*x^{2}-3*x-6,5
[/mm]
[mm] y=-0,5*[x^{2}+6*x]-6,5
[/mm]
[mm] y=-0,5*[x^{2}+6*x+3^{2}]+0,5*3^{2}-6,5
[/mm]
[mm] y=-0,5*(x+3)^{2}-2
[/mm]
Scheitelpunkt S(-3|-2)
Meine Frage:
Wie kommt man nun auf die letzte Gleichung ich verstehe die einzelnen Schritte überhaupt nicht.
Es wäre super wenn mir jemand helfen könnte!!
Vielen Dank
liebe Grüße Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 So 09.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!!
> [mm]y=-0,5*x^{2}-3*x-6,5[/mm]
Zunächst klammern wir grundsätzlich bei der Umwandlung in die Scheitelpunktsform bei den Terme mit $x_$ (also hier: [mm] $x^2$ [/mm] und $x_$) den Faktor vor dem [mm] $x_2$ [/mm] aus:
> [mm]y=-0,5*[x^{2}+\red{6}*x]-6,5[/mm]
Nun wollen wir ja innerhalb der eckigen Klammer eine der beiden ersten  binomischen Formeln anwenden.
Dafür sehen wir uns nun mal den Faktor vor dem $x_$ an, halbieren ihn und quadrieren ihn.
Hier: [mm] $\left(\bruch{\red{6}}{2}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] 3^2$ [/mm] .
Diesen Zahlenwert addieren wir nun innerhalb der eckigen Klammern und ziehen ihn gleich wieder ab, damit wir den Gesamtausdruck nicht verändern:
[mm]y \ = \ -0,5*\left[x^{2}+6*x+3^{2} - \ \blue{3^2}\right]-6,5[/mm]
Den Term $- \ [mm] \blue{3^2}$ [/mm] können wir nun nicht in der Klammer gebrauchen und multiplizieren ihn daher mit der $-0,5_$ von vor der Klammer: [mm] $-0,5*(-\blue{3^2}) [/mm] \ = \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] 0,5*3^2 [/mm] \ = \ + 4,5$
> [mm]y=-0,5*[x^{2}+6*x+3^{2}]+0,5*3^{2}-6,5[/mm]
Nun wenden wir innerhalb der eckigen Klammer - wie oben angekündigt - die 1. binomische Formel [mm] $a^2 [/mm] + 2ab + [mm] b^2 [/mm] \ = \ [mm] (a+b)^2$ [/mm] "rückwärts" an:
> [mm]y=-0,5*(x+3)^{2}-2[/mm]
Hiermit haben wir nun die Scheitelpunktsform erreicht
$y \ = \ [mm] a*\left(x - \ \red{x_S}\right)^2 [/mm] + \ [mm] \blue{y_S}$ [/mm]
und können den Scheitelpunkt $S \ [mm] \left( \ \red{x_S} \ \left| \ \blue{y_S} \ \right)$ ablesen mit:
> Scheitelpunkt S(-3|-2)
Denn es gilt ja: $y \ = \ -0,5*\left[x - (\red{-3})\right]^2 + (\blue{-2})$ .
Nun etwas klarer und [lichtaufgegangen] ??
Gruß
Loddar
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 So 09.10.2005 | | Autor: | An-nA |
Vielen Dank  !
Ihr seid echt super und du hast mir schon echt geholfen nur eine frage habe ich noch und zwar:
Warum wird aus der drei (rot markiert) in der eckigen Klammer dann eine 6 das ist mir noch unklar.
Ansonsten hast du es echt super erklärt vielen vielen dank!!!!!!
> > [mm]y=-0,5*x^{2}-\red3*x-6,5[/mm]
>
> Zunächst klammern wir grundsätzlich bei der Umwandlung in
> die Scheitelpunktsform bei den Terme mit [mm]x_[/mm] (also hier: [mm]x^2[/mm]
> und [mm]x_[/mm]) den Faktor vor dem [mm]x_2[/mm] aus:
>
> > [mm]y=-0,5*[x^{2}+\red{6}*x]-6,5[/mm]
>
Liebe Grüße Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 So 09.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Wir klammern doch aus den ersten beiden Termen den Wert $-0,5_$ aus.
Das heißt doch, wir rechnen hier: [mm] $\bruch{-3}{-0,5} [/mm] \ = \ +6$ .
Multipliziere hier doch mal zur Probe den Faktor $-0,5_$ wieder in die Klammer hinein. Dann entsteht doch genau wieder unser Ausgangsausdruck mit $-3_$ ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 So 09.10.2005 | | Autor: | An-nA |
Achso ! Vielen Dank für deine Hilfe !!!
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