Die Menge aller Funktionen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:57 Sa 29.10.2011 | | Autor: | Nadelspitze |
| Aufgabe | Aufgabenstellung:
Sei ~ [mm] X:=\left\{f|f:\mathbb R \rightarrow \mathbb [/mm] R [mm] \right\}, [/mm] mit f [mm] \succ [/mm] g [mm] \Leftrightarrow \forall x\in \mathbb [/mm] R [mm] :f(x)\geq [/mm] g(x)
Zeigen oder wiederlegen sie:
a) (X, [mm] \succ [/mm] ) ist eine Menge mit Richtung
b) je zwei Elemente von X sind bzgl. [mm] \succ [/mm] vergleichbar. |
a) Hier ist die Transivität und Reichhaltigkeit von X zu zeigen.
Im Prinzip ist mir auch klar, dass beides gilt.
Um zunächst zunächst zu verdeutlichen, nehme ich mir 3 Funktionen [mm] f,g,h\in [/mm] X
mit [mm] f(x)=x^2, g(x)=x^2+1, h(x)=x^2+2
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
jetzt sind das natürlich nur recht einfache Beispiele aber es zeigt, dass g ein Nachfolger von f ist und h ein Nachfolger von g. Ins besondere ist nun auch h ein Nachfolger von f (da gilt [mm] \forall x\in \mathbb [/mm] R : [mm] h(x)\geq [/mm] f(x) und gleichzeitig könnte man das Spiel ja noch weiter führen und den Summand erhöhen.
Nur leider sind das ja nur beispiele und ich weiß nicht so recht, wie ich hier anfangen soll. Das Problem ist ja, dass die Menge aller Funktionen für mich schwer einzufangen ist. Als erstes fällt mir hier die Menge aller Polynomfunktionen ein, die hier ja identisch zu X ist. Oder? Aber das bringt mich ja nicht mal weiter.
Wie zeige ich also Transitivität und Reichhaltigkeit bei einer solchen Menge am besten und schnellsten?
zur b)
Hier ist im Prinzip schnell gezeigt, dass nicht (immer) zwei beliebige Elemente von X vergleichbar sind.
Sei [mm] a(x),b(x)\in [/mm] X ~ und ~ a(x)=1, b(x)=x.
[Dateianhang nicht öffentlich]
es zeigt sich, dass:
[mm] \forall x\leq 1:a(x)\geq b(x)\\ \forall [/mm] x > 1:a(x)< b(x)
damit wäre a(x) nicht vergleichbar mit b(x) und die Aussage wiederlegt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
> Aufgabenstellung:
> Sei ~ [mm]X:=\left\{f|f:\mathbb R \rightarrow \mathbb[/mm] R
> [mm]\right\},[/mm] mit f [mm]\succ[/mm] g [mm]\Leftrightarrow \forall x\in \mathbb[/mm]
> R [mm]:f(x)\geq[/mm] g(x)
> Zeigen oder wiederlegen sie:
>
> a) (X, [mm]\succ[/mm] ) ist eine Menge mit Richtung
> b) je zwei Elemente von X sind bzgl. [mm]\succ[/mm] vergleichbar.
> a) Hier ist die Transivität und Reichhaltigkeit von X zu
> zeigen.
> Im Prinzip ist mir auch klar, dass beides gilt.
>
> Um zunächst zunächst zu verdeutlichen, nehme ich mir 3
> Funktionen [mm]f,g,h\in[/mm] X
>
> mit [mm]f(x)=x^2, g(x)=x^2+1, h(x)=x^2+2[/mm]
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> jetzt sind das natürlich nur recht einfache Beispiele aber
> es zeigt, dass g ein Nachfolger von f ist und h ein
> Nachfolger von g. Ins besondere ist nun auch h ein
> Nachfolger von f (da gilt [mm]\forall x\in \mathbb[/mm] R : [mm]h(x)\geq[/mm]
> f(x) und gleichzeitig könnte man das Spiel ja noch weiter
> führen und den Summand erhöhen.
>
> Nur leider sind das ja nur beispiele und ich weiß nicht so
> recht, wie ich hier anfangen soll. Das Problem ist ja, dass
> die Menge aller Funktionen für mich schwer einzufangen
> ist. Als erstes fällt mir hier die Menge aller
> Polynomfunktionen ein, die hier ja identisch zu X ist.
> Oder? Aber das bringt mich ja nicht mal weiter.
>
> Wie zeige ich also Transitivität und Reichhaltigkeit bei
> einer solchen Menge am besten und schnellsten?
>
Die Transitivität zeigst du direkt mit der Definition:
Ist [mm] f\succ [/mm] g und [mm] g\succ [/mm] h, heißt das, dass für alle [mm] x\in [/mm] R gilt
[mm] f(x)\ge [/mm] g(x) und [mm] g(x)\ge h(x)\Rightarrow f(x)\ge [/mm] h(x),
was ja gerade [mm] f\succ [/mm] h bedeutet.
>
>
>
> zur b)
> Hier ist im Prinzip schnell gezeigt, dass nicht (immer)
> zwei beliebige Elemente von X vergleichbar sind.
>
> Sei [mm]a(x),b(x)\in[/mm] X ~ und ~ a(x)=1, b(x)=x.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> es zeigt sich, dass:
> [mm]\forall x\leq 1:a(x)\geq b(x)\\ \forall[/mm] x > 1:a(x)< b(x)
> damit wäre a(x) nicht vergleichbar mit b(x) und die
> Aussage wiederlegt.
korrekt!
|
|
|
| |
|
> > Wie zeige ich also Transitivität und Reichhaltigkeit bei
> > einer solchen Menge am besten und schnellsten?
> >
>
> Die Transitivität zeigst du direkt mit der Definition:
> Ist [mm]f\succ[/mm] g und [mm]g\succ[/mm] h, heißt das, dass für alle [mm]x\in[/mm]
> R gilt
> [mm]f(x)\ge[/mm] g(x) und [mm]g(x)\ge h(x)\Rightarrow f(x)\ge[/mm] h(x),
> was ja gerade [mm]f\succ[/mm] h bedeutet.
>
Also kann ich mich hier auf die Ordnung von R stützen (da [mm] f(x),g(x),h(x)\in [/mm] R)?
Dann geht das natürlich wirklich ganz schnell.
Aber wie sieht es mit der Reichhaltigkeit aus?
Die Definition sagt folgendes:
Zu x,y [mm] \in [/mm] X gibt es ein [mm] z\in [/mm] X mit [mm] z\succ [/mm] x und [mm] z\succ [/mm] y
Es geht ja darum, dass es immer noch einen weiteren Nachfolger gibt.
Aber wie zeig ich das?
Danke bis hier hin schon mal! :)
|
|
|
| |
|
> > > Wie zeige ich also Transitivität und Reichhaltigkeit bei
> > > einer solchen Menge am besten und schnellsten?
> > >
> >
> > Die Transitivität zeigst du direkt mit der Definition:
> > Ist [mm]f\succ[/mm] g und [mm]g\succ[/mm] h, heißt das, dass für alle
> [mm]x\in[/mm]
> > R gilt
> > [mm]f(x)\ge[/mm] g(x) und [mm]g(x)\ge h(x)\Rightarrow f(x)\ge[/mm] h(x),
> > was ja gerade [mm]f\succ[/mm] h bedeutet.
> >
> Also kann ich mich hier auf die Ordnung von R stützen (da
> [mm]f(x),g(x),h(x)\in[/mm] R)?
Ja. kann man so sehen.
>
> Dann geht das natürlich wirklich ganz schnell.
>
>
> Aber wie sieht es mit der Reichhaltigkeit aus?
>
> Die Definition sagt folgendes:
> Zu x,y [mm]\in[/mm] X gibt es ein [mm]z\in[/mm] X mit [mm]z\succ[/mm] x und [mm]z\succ[/mm] y
>
> Es geht ja darum, dass es immer noch einen weiteren
> Nachfolger gibt.
> Aber wie zeig ich das?
Hier kannst du dir z.B. zu gegebenen f und g eine Funktion h definieren durch
h(x)=f(x) für alle x mit [mm] f(x)\ge [/mm] g(x) und
h(x)=g(x) für alle x mit g(x)>f(x)
>
>
> Danke bis hier hin schon mal! :)
|
|
|
| |
|
> Hier kannst du dir z.B. zu gegebenen f und g eine Funktion
> h definieren durch
> h(x)=f(x) für alle x mit [mm]f(x)\ge[/mm] g(x) und
> h(x)=g(x) für alle x mit g(x)>h(x)
>
Müsste ich dazu nicht erst einmal zeigen, dass es ein solches g(x) und f(x) gibt? Oder darf ich das tatsächlich einfach so definieren...
Kann ich das auch so schreiben oder würde man das dann anders schreiben?
Wenn dies so geht, könnte ich doch auch h(x)=f(x)+y [mm] y\in [/mm] R^+ definieren. Denn in deinem oberen beispiel wären f(x)und g(x) ja nicht vergleichbar und demnach könnte ich dann gar nicht mehr sagen, dass [mm] h\succ [/mm] f [mm] \succ [/mm] g
|
|
|
| |
|
>
> > Hier kannst du dir z.B. zu gegebenen f und g eine Funktion
> > h definieren durch
> > h(x)=f(x) für alle x mit [mm]f(x)\ge[/mm] g(x) und
> > h(x)=g(x) für alle x mit g(x)>h(x)
> >
>
> Müsste ich dazu nicht erst einmal zeigen, dass es ein
> solches g(x) und f(x) gibt? Oder darf ich das tatsächlich
> einfach so definieren...
Die Definition der Reichhaltigkeit sagt ja:
Zu gegebenen (beliebigen) f und g gibt es ein h mit [mm] h\succ [/mm] f und [mm] h\succ [/mm] g
Und genau ein solches h habe ich konstruiert.
>
>
> Kann ich das auch so schreiben oder würde man das dann
> anders schreiben?
>
> Wenn dies so geht, könnte ich doch auch h(x)=f(x)+y [mm]y\in[/mm]
> R^+ definieren. Denn in deinem oberen beispiel wären
> f(x)und g(x) ja nicht vergleichbar und demnach könnte ich
> dann gar nicht mehr sagen, dass [mm]h\succ[/mm] f [mm]\succ[/mm] g
Wie gesagt: Für [mm] \underline{alle} [/mm] f, g [mm] \underline{gibt\ es\ ein} [/mm] h.....
Die Aussage muss nicht für beliebige h gelten.
|
|
|
| |
|
Ok, ich glaub ich hab es.
Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Sa 29.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
das einfachst st doch du nimmstfür z=x+y+1
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Hallo
> das einfachst st doch du nimmstfür z=x+y+1
> Gruss leduart
>
wenn nun aber x=2 und y=-5, dann wäre hier z=-2 und demnach nicht über x und y...
oder habe ich dich falsch verstanden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Sa 29.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast Recht, und ich hab mich dumm angestellt!aber mit h=|f|+|g|+1 müsste es gehen, wen ich nicht zu müde bin.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
ist ja kein Problem :)
Kurz darüber nachdenken hilft ja bekanntlich auch weiter. Hatte kurz eine ähnliche Idee aber dann eben gemerkt, dass es eben nicht geht. Aber du hast Recht mit den Beträgen sollte es funktionieren. Hab mich dann aber doch für die Lösung weiter oben entschieden. Danke und schönen Sonntag noch.
Kai
|
|
|
|
