Dichtefunktion ZV E(X) Varianz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Do 11.10.2012 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Die Dauer X in Stunden eines Feuerwehreinsatzes werde durch folgende Dichte beschrieben:
f(x) = [mm] 0,5*e^{-0,5x} [/mm] x [mm] \ge [/mm] 0
a) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Einsatz
1) länger als 30 Minuten dauert
2) zwischen ein und zwei Stunden dauert
3) genau 45 Minuten dauert. |
Moin!
a) Hier weiss ich gar nicht, wie ich vorgehen kann!?
Wie kann ich über eine Dichtefunktion Erwartungswert und Varianz bestimmen?
b) Bilde ich da die Verteilungsfunktion, also
F(x) = - [mm] e^{-0,5x} [/mm] würden aber dann nicht negative Werte herauskommen?
Oder kann man das Ganze mit der Normalverteilung lösen?
Wenn man E(X) und Var(X) ermittelt hat?
Dann wäre auf jeden Fall P(X=0,75) = 0 (45min = 0,75 h)
Vielen Dank für eure Hilfe!
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Hiho,
> a) Hier weiss ich gar nicht, wie ich vorgehen kann!?
>
> Wie kann ich über eine Dichtefunktion Erwartungswert und
> Varianz bestimmen?
Da gibt es mehrere Möglichkeiten:
1.) Welche Definitionen für den Erwartungswert und die Varianz kennst du denn?
2.) Du siehst der Dichte an, dass es die Dichte einer Exponentialverteilung ist, von der du Erwartungswert und Varianz kennst.
> b) Bilde ich da die Verteilungsfunktion
ja.
> also F(x) = - [mm]e^{-0,5x}[/mm]
Wie kommst du denn darauf?
Wie ist die Verteilungsfunktion bei gegebener Dichte gegeben?
Vorrechnen! Dann findet man auch deinen Fehler (der sich bei dir nur in einer vergessenen 1 äußert.
> Oder kann man das Ganze mit der Normalverteilung lösen?
> Wenn man E(X) und Var(X) ermittelt hat?
Nein, du hast ja gar keine Normalverteilung gegeben.
Generell empfehle ich dir dringend Grundlagen nochmal nachzuarbeiten.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Do 11.10.2012 | | Autor: | hase-hh |
> Hiho,
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> > a) Hier weiss ich gar nicht, wie ich vorgehen kann!?
> >
> > Wie kann ich über eine Dichtefunktion Erwartungswert und
> > Varianz bestimmen?
>
> Da gibt es mehrere Möglichkeiten:
>
> 1.) Welche Definitionen für den Erwartungswert und die
> Varianz kennst du denn?
> 2.) Du siehst der Dichte an, dass es die Dichte einer
> Exponentialverteilung ist, von der du Erwartungswert und
> Varianz kennst.
Danke. Das hilft schonmal weiter...
Bei einer Exponentialverteilung ist
E(X) = [mm] \bruch{1}{\lambda}
[/mm]
Var(X) = [mm] \bruch{1}{\lambda^2}
[/mm]
Hier ist [mm] \lambda [/mm] = 0,5
E(X) = [mm] \bruch{1}{0,5} [/mm] = 2 Stunden
Var(X)= [mm] \bruch{1}{0,5^2} [/mm] = 4 Stunden
> > b) Bilde ich da die Verteilungsfunktion
>
> ja.
>
> > also F(x) = - [mm]e^{-0,5x}[/mm]
>
> Wie kommst du denn darauf?
> Wie ist die Verteilungsfunktion bei gegebener Dichte
> gegeben?
> Vorrechnen! Dann findet man auch deinen Fehler (der sich
> bei dir nur in einer vergessenen 1 äußert.
Also vorrechnen kann ich erst, wenn ich das Vorgehen kenne...
Auf geht's.
Die Verteilungsfunktion für x [mm] \ge [/mm] 0 wird gebildet:
F(x) = 1 - [mm] e^{-0,5x}
[/mm]
1) länger als 30 min... P(X > 0,5) = 1 - P(X [mm] \le [/mm] 0,5)
= 1 - (1 - [mm] e^{-0,5*0,5}) [/mm] = 0,7788
2) zwischen 1 und 2 Stunden P(1 < X <2) = (1 - [mm] e^{-0,5*2}) [/mm] - (1 [mm] -e^{-0,5*1})
[/mm]
= 0,6321 - 0,3935 = 0,2386
3) genau 45 min P(X=0,75) = 0
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Hiho,
> Bei einer Exponentialverteilung ist
>
> E(X) = [mm]\bruch{1}{\lambda}[/mm]
>
> Var(X) = [mm]\bruch{1}{\lambda^2}[/mm]
>
> Hier ist [mm]\lambda[/mm] = 0,5
>
> E(X) = [mm]\bruch{1}{0,5}[/mm] = 2 Stunden
>
> Var(X)= [mm]\bruch{1}{0,5^2}[/mm] = 4 Stunden
Bis auf die Frage, wo das "Stunden" plötzlich herkommt.
Noch sind die Zahlen einheitslos!
Aber für die Antwort wären sie dann wichtig.
> Also vorrechnen kann ich erst, wenn ich das Vorgehen
> kenne...
Du solltest vorrechnen, wie man von der Dichte auf die Verteilungsfunktion kommt. Dafür gibts eine Formel!
> Die Verteilungsfunktion für x [mm]\ge[/mm] 0 wird gebildet:
>
> F(x) = 1 - [mm]e^{-0,5x}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 1) länger als 30 min... P(X > 0,5) = 1 - P(X [mm]\le[/mm] 0,5)
>
> = 1 - (1 - [mm]e^{-0,5*0,5})[/mm] = 0,7788
>
> 2) zwischen 1 und 2 Stunden P(1 < X <2) = (1 - [mm]e^{-0,5*2})[/mm]
> - (1 [mm]-e^{-0,5*1})[/mm]
>
> = 0,6321 - 0,3935 = 0,2386
>
> 3) genau 45 min P(X=0,75) = 0
Bleibt aber noch die Frage:
Wie berechnest du Erwartungswert und Varianz, wenn das jetzt keine bekannte Dichte gewesen wäre?
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Do 11.10.2012 | | Autor: | hase-hh |
> Hiho,
>
> > Bei einer Exponentialverteilung ist
> >
> > E(X) = [mm]\bruch{1}{\lambda}[/mm]
> >
> > Var(X) = [mm]\bruch{1}{\lambda^2}[/mm]
> >
> > Hier ist [mm]\lambda[/mm] = 0,5
> >
> > E(X) = [mm]\bruch{1}{0,5}[/mm] = 2 Stunden
> >
> > Var(X)= [mm]\bruch{1}{0,5^2}[/mm] = 4 Stunden
>
> Bis auf die Frage, wo das "Stunden" plötzlich herkommt.
> Noch sind die Zahlen einheitslos!
> Aber für die Antwort wären sie dann wichtig.
Die Einheit Stunden steht in der Aufgabenstellung.
> > Also vorrechnen kann ich erst, wenn ich das Vorgehen
> > kenne...
>
> Du solltest vorrechnen, wie man von der Dichte auf die
> Verteilungsfunktion kommt. Dafür gibts eine Formel!
F(x) = [mm] \integral_{- \infty}^{x}{f(t) dt}=\begin{cases} 1 - e^{-0,5*x} , & \mbox{für } x \ge 0 \\ 0, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}
[/mm]
> > Die Verteilungsfunktion für x [mm]\ge[/mm] 0 wird gebildet:
> >
> > F(x) = 1 - [mm]e^{-0,5x}[/mm]
>
>
>
> > 1) länger als 30 min... P(X > 0,5) = 1 - P(X [mm]\le[/mm] 0,5)
> >
> > = 1 - (1 - [mm]e^{-0,5*0,5})[/mm] = 0,7788
> >
> > 2) zwischen 1 und 2 Stunden P(1 < X <2) = (1 - [mm]e^{-0,5*2})[/mm]
> > - (1 [mm]-e^{-0,5*1})[/mm]
> >
> > = 0,6321 - 0,3935 = 0,2386
> >
> > 3) genau 45 min P(X=0,75) = 0
>
>
>
> Bleibt aber noch die Frage:
> Wie berechnest du Erwartungswert und Varianz, wenn das
> jetzt keine bekannte Dichte gewesen wäre?
>
> MFG,
> Gono.
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Hiho,
> > Bleibt aber noch die Frage:
> > Wie berechnest du Erwartungswert und Varianz, wenn das
> > jetzt keine bekannte Dichte gewesen wäre?
MFG,
Gono.
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