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| Aufgabe | Eine stetige Zufallsvariable X habe die Dichte
[mm] f(n)=\begin{cases} 1-|x|, & \mbox{für } -1\le x\le 1 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
a) Überprüfen SIe ob die Funktion [mm] f_{x}t [/mm] die geforderten Dichteeigenschaften besitzt
b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion [mm] F_{X}t [/mm] und skizzieren Sie deren Verlauf
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit [mm] P(|X|\le0,5) [/mm] |
Hallo Leute,
sitz seit längerer Zeit über dieser Aufgabe und krieg die nicht hin.
Aufgabenteil a) hab ich gezeigt, indem ich gezeigt habe das [mm] \integral_{-1}^{1}{f(t) dt}=1 [/mm] ist. Dazu habe ich wegen der Betragsfunktion das Intervall 2 mal von 0 bis 1 berechnet und bin auf das Ergebnis gekommen.
Ich weiß jetzt nicht, wie ich die Vertelungsfunktion bestimme.
Die Verteilungsfunktion ist ja die Stammfunktion der DIchtefunktion
[mm] F_{x}t=\integral_{-\infty}^{t}{f(t) dt}=\integral_{-1}^{t}{f(t) dt}.
[/mm]
Mein Problem ist, dass meine Funktion [mm] F_{x}t= -\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{2}+x. [/mm] Nicht monoton wachsend und erst recht nicht im Bereich von -1 bis 1 von 0-1 geht.
Nur zur Rechnung: Habe für alle [mm] x\le0 [/mm] ein Integral von -1 bis 0 gebildet und für alle [mm] x\ge0 [/mm] das Integral von 0-x.
Könnt ihr mir helfen?
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Hallo Achilles2084,
> Eine stetige Zufallsvariable X habe die Dichte
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> [mm]f(n)=\begin{cases} 1-|x|, & \mbox{für } -1\le x\le 1 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> a) Überprüfen SIe ob die Funktion [mm]f_{x}t[/mm] die geforderten
> Dichteeigenschaften besitzt
>
> b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion [mm]F_{X}t[/mm] und
> skizzieren Sie deren Verlauf
>
> c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit [mm]P(|X|\le0,5)[/mm]
> Hallo Leute,
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> sitz seit längerer Zeit über dieser Aufgabe und krieg die
> nicht hin.
>
> Aufgabenteil a) hab ich gezeigt, indem ich gezeigt habe das
> [mm]\integral_{-1}^{1}{f(t) dt}=1[/mm] ist. Dazu habe ich wegen der
> Betragsfunktion das Intervall 2 mal von 0 bis 1 berechnet
> und bin auf das Ergebnis gekommen.
>
> Ich weiß jetzt nicht, wie ich die Vertelungsfunktion
> bestimme.
> Die Verteilungsfunktion ist ja die Stammfunktion der
> DIchtefunktion
>
> [mm]F_{x}t=\integral_{-\infty}^{t}{f(t) dt}=\integral_{-1}^{t}{f(t) dt}.[/mm]
>
> Mein Problem ist, dass meine Funktion [mm]F_{x}t= -\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{2}+x.[/mm]
Das stimmt nicht!
Du musst für [mm] $1\geq [/mm] t>0$ das Integral aufspalten:
[mm] \integral_{-1}^{t}{f(t) dt}=\integral_{-1}^{0}{f(t) dt}+\integral_{0}^{t}{f(t) dt}=\integral_{-1}^{0}{1+x dt}+\integral_{0}^{t}{1-x dt},
[/mm]
dann bekommst Du die richtige Verteilungsfunktion.
LG
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Hallo Kamelonti,
$ [mm] \integral_{-1}^{t}{f(t) dt}=\integral_{-1}^{0}{f(t) dt}+\integral_{0}^{t}{f(t) dt}=\integral_{-1}^{0}{1+x dt}+\integral_{0}^{t}{1-x dt}, [/mm] $
[mm] =....=t^{2}-xt^{2}+x+1
[/mm]
Ist das die Stammfunktion? Dann muss ich doch noch Werte einsetzen um die Kurve zu bestimmen.
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> Hallo Kamelonti,
Nicht Kamel-irgendwas  .
Kamaleonti kommt von Chamäleon (um welche Sprache es sich handelt, wird nicht verraten!)
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> [mm]\integral_{-1}^{t}{f(t) dt}=\integral_{-1}^{0}{f(t) dt}+\integral_{0}^{t}{f(t) dt}=\integral_{-1}^{0}{1+x dt}+\integral_{0}^{t}{1-x dt},[/mm]
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> [mm]=....=t^{2}-xt^{2}+x+1[/mm]
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> Ist das die Stammfunktion? Dann muss ich doch noch Werte
> einsetzen um die Kurve zu bestimmen.
Nein. Eine Stammfunktion lässt sich hier nur stückweise angeben, da auch die Funktion f nur stückweise linear ist. An den "Knicken" von f musst du jeweils das Integral zerlegen.
LG
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Hallo "Kamaleonti", ;)
Definiere ich dann [mm] f(n)=\begin{cases} -1-x, & \mbox{für } -1\le x<0 \\ t^{2}-xt^{2}, & \mbox{für } 0\le x\le 1 \end{cases} [/mm] sonst 0?
LG
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> Definiere ich dann [mm]f(n)=\begin{cases} -1-x, & \mbox{für } -1\le x<0 \\ t^{2}-xt^{2}, & \mbox{für } 0\le x\le 1 \end{cases}[/mm] sonst 0?
So viele Variablen, wie Du hier durcheinanderwirfst, hat keiner mehr Durchblick.
Es ist mir nicht einmal klar was Du genau definieren willst.
Was die Verteilungsfunktion betrifft, gilt
[mm] F_X(t)=\begin{cases}0,&t\le-1\\t+t^2/2+1/2,&-1< t\le0\\\blue{1/2}+t-t^2/2,&0< t\le1\\1,&t>1\end{cases}
[/mm]
Es ist dabei [mm] $\blue{1/2}=\int_{-1}^0 [/mm] f(t) dt$
Rechne mal nach und denk dran das Integral an den Knickstellen zu zerlegen.
LG
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Achsooooo,
ich setze keine Werte für die Variablen in den Integralen ein!
Das 1/2 bezieht sich auf den jeweils anderen Integralteil (nach oder vor dem Knick) der jeweils 1/2 ist. Das hab ich ja bei der Berechnung für die Dichteeigenschaft gezeigt.
Wenn ich jetzt [mm] P(|X|\le0,5) [/mm] ausrechnen möchte setze ich in die Funktion [mm] {1/2}+t-t^{2}/2 [/mm] die Zahl 0,5 ein.
Korrekt?
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Hallo,
> Wenn ich jetzt [mm]P(|X|\le0,5)[/mm] ausrechnen möchte setze ich in
> die Funktion [mm]{1/2}+t-t^{2}/2[/mm] die Zahl 0,5 ein.
>
> Korrekt?
Nein, Du hast da jetzt noch Betragsstriche, es gilt
[mm] P(|X|\le0,5)=F_X(0,5)-F_X(-0,5).
[/mm]
LG
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Super,
ich danke dir für die Geduld und deine Hilfe.
Gruß
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